专题：回归方程和独立性大题 1．2021 年 7 月，中共中央办公厅 ､ 国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校 外培训负担的意见》，并发出通知，要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实.该文件被称为“双减”，“双减” 提出要全面压减作业总量和时长，减轻学生过重作业负担，同时坚持从严治理，全面规范校外培训行为.在 “双减”颁布前，某地教育局为了解当地中学生参加校外培训的情况，随机调查了当地 100 名学生，得到的数 据如下表： 初中 生 高中 生 总计 参加校外培 未参加校外培 总 训 训 计 30 20 50 40 10 50 70 30 100 （1）在“双减”颁布前，以这 100 名学生参加校外培训的情况分别估计当地初中生和高中生参加校外培训的 概率； （2）在“双减”颁布前，能否有 95%的把握认为学生是否参加校外培训与年级段有关？ 附： K2  n ( ad  bc )2 , n  a  b  c  d .  ( a  b)(c  d )(a  c )(b  d ) . P  K 2 �k0  k0 0.01 0.10 0.05 0.001 0 2.70 3.84 6.63 10.82 6 1 5 8 2．2021 年 8 月份，义务教育阶段“双减”政策出台，某小学在课后延时服务开设音乐、科技、体育等特色课 程，为进一步了解学生选课的情况，随机选取了 200 人进行调查问卷，整理数据后获得如下统计表： 喜欢体育 不喜欢体育 已选体育课（ A 组） 75 25 未选体育课（ B 组） 45 55 （1）若从样本内喜欢体育的 120 人中用分层抽样方法随机抽取 16 人，问应在 A 组、 B 组各抽取多少人？ （2）能否有 99.5%的把握认为选报体育延时课与喜欢体育有关？ 附： P  K 2 �k  0.010 0.005 0.001 k 6.635 7.879 10.828 K2  n(ad  bc )2 (a  b)(c  d )(a  c)(b  d ) ． 3．据不完全统计，某厂的生产原料耗费 x( 单位：百万元 ) 与销售额 y ( 单位：百万元 ) 如下：变量 x､y 为线性 相关关系. x y 2 4 6 8 2 3 6 8 0 5 1 0 （1）求线性回归方程必过的点； （2）求线性回归方程； （3）若实际销售额要求不少于 121.1 百万元，则原材料耗费至少要多少百万元. n b$ n �( x  x)( y  y) �x y i i 1 i n �( x  x) i i 1  2 i i 1 n �x i 1 i 2 i  nx � y  nx 2 4．某药厂主要从事治疗某种呼吸道慢性疾病 B 的药物的研发和生产.在研发过程中，为了考察药物 A 对治疗 慢性呼吸道疾病 B 的效果，对 200 个志愿者进行了药物试验，根据统计结果，得到如下 2 �2 列联表. 慢性疾病 B 药物 未患病 患病 30 未服用 合计 50 80 服用 200 合计 （1）完成该列联表并判断是否有 90% 的把握认为药物 A 对治疗慢性呼吸道疾病 B 有效？并说明理由； （2）该药厂研制了一种新药，宣称对治疗疾病 B 的有效率为 90% ，随机选择了 5 个病人，经过该药治疗后， 治愈的人数不超过 3 人，你是否怀疑该药厂的宣传？并说明理由. n  ad  bc   a  b  c  d   a  c  b  d  ， n  a  b  c  d . 2 附： K2  P  K 2 �k0  k0 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 5．电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观众进行调查，其中女性 有 55 名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”． （1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷 体育迷 合计 10 55 男 女 合计 （2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取 1 名 观众，抽取 3 次，记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X .若每次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布 列，期望 E X  和方差 D X  ． n  ad  bc  K  附：  a  b  c  d   a  c  b  d  . 2 2 P  K 2 �k  0.05 0.01 k 3.841 6.635 6．“学习强国” APP 是由中宣部主管以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“ PC 端＋手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台，2019 年 1 月 1 日上线后便成了党员干部群众学习的 “新助手”，为了调研某地党员在“学习强国” APP 的学习情况，研究人员随机抽取了 200 名该地党员进行调查， 将他们某两天在“学习强国” APP 上所得的分数统计如表（1）所示： 表（1） 分数  60, 70   70,80   80,90   90,100 人数 50 100 20 30 （1）现用分层抽样的方法从 80 分及以上的党员中随机抽取 5 人，再从抽取的 5 人中随机选取 2 人作为学习 小组长，求所选取的两位小组长的分数都在  90,100 上的概率； （2）为了调查“学习强国” APP 得分情况是否受到所在单位的影响，研究人员随机抽取了机关事业单位党员 以及国有企业党员作出调查，得到的数据如表（2）所示： 机关事业单位党员 国有企业党员 分数超过 80 220 150 分数不超过 80 80 50 表（2） 判断是否有 99% 的把握认为“学习强国” APP 得分情况受所在单位的影响. n  ad  bc   a  b   c  d   a  c   b  d  ，其中 n  a  b  c  d 2 附： K2  P  K 2 �k0  0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 7．如图是某市 2011 年至 2020 年当年在售二手房均价（单位：千元/平方米）的散点图（图中年份代码 1~10 分别对应 2011 年~2020 年）.现根据散点图选择用 y  a  bx 和 y  ec dx y x 两个模型对年份代码 和房价 的关系 2 进行拟合，经过数据处理得到两个模型对应回归方程的相关指数 R 和一些统计量的值，如下表： 模型 相关指数 R 2 y  a  bx y  ec  dx 0.8821 0.9046 10 y � x  x  w i 1 6.81 表中 wi  ln yi ， 1.89 w 82.5 i 2 10 10 � x  x   y  y  � x  x   w  w  44.55 6.6 i 1 i i i 1 i i 1 10 �wi 10 i 1 . 2 （1）请利用相关指数 R 判断：哪个模型的拟合效果更好；并求出该模型对应的回归方程（参数估计值精确 到 0.01）； （2）根据（1）得到的方程预计；到哪一年，该市的当年在售二手房均价能超过 10.5 千元/平方米. 参考公式：对于一组数据  u1 , v1  ，  u2 , v2  ，…，  un , vn  ，其回归线 v     u 的斜率和截距的最小二乘估计 n ˆ 分别为：   � u  u   v  v  i i 1 i n � u  u  i 1 ， 2 ， .参考数据： ˆ  v  ˆu i e 2.35 �10.49 . e 2.36 �10.59 8．2021 年 10 月 16 日，搭载“神州十三号”的火箭发射升空，这是一件让全国人民普遍关注的大事，因此每 天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻．某机构将每天关注这件大事的时间在 2 小时以上的人 称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了 100 人 进行分析，得到下表（单位：人）： 天文爱好者 女 非天文爱好者 合计 20 50 男 15 合计 100 （1）将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“天文爱好者”或“非 天文爱好者”与性别有关？ （2）现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取 5 人，然后再 从这 5 人中随机选出 3 人，记其中“天文爱好者”的人数为 X ，求 X 的分布列和数学期望． n  ad  bc  K  附：  a  b   c  d   a  c   b  d  ，其中 n  a  b  c  d ． 2 2 P  K 2 �k0  k0 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 9．某投资公司 2012 年至 2021 年每年的投资金额 x （单位：万元）与年利润增量 y （单位：万元）的散点 图如图：该投资公司为了预测 2022 年投资金额为 20 万元时的年利润增量，建立了 y 关于 x 的两个回归模型； y yˆ  2.50 x  2.50 x 模型①：由最小二乘公式可求得 与 的线性回归方程： 可以认为样本点集中在由线： y  blnx  a 10 10 10 10 i 1 i 1 i 1 i 1 x ；模型②：由图中样本点的分布， 的附近，对投资金额 做换元，令 �ti  22.00, �yi 