临澧一中 2022 届高三数学解答题突破专项训练 解析几何 06 （与圆有关的问题） 1．已知 F1 ， F2 分别为椭圆 C: x2 y 2   1(a  b  0) a2 b2 的左、右焦点，椭圆上任意一点 P 到焦点距离 1 的最小值与最大值之比为 ，过 F 且垂直于长轴的椭圆 C 的弦长为 3． 3 1 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过 F1 的直线与椭圆 C 相交的交点 A 、 B 与右焦点 F2 所围成的三角形的内切圆面积是否存 在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由． 2．已知椭圆 C: x2 y2   1(a  b  0) a 2 b2 的左、右焦点为 F1 ， F2 ， P 为 C 上一点， PF2 垂直于 x 轴， uuur uuuu r 9 PF2  ． 且 | PF | 、 | F F | 、 | PF | 成等差数列， PF1 � 4 1 1 2 2 （1）求椭圆 C 的方程； (1, 0) ABF2 AF1 F2 l C A B A x （2）直线 过点 ，与椭圆 交于 ， 两点，且点 在 轴上方．记 ，△ r1 r2 r1  2r2 l 的内切圆半径分别为 ， ，若 ，求直线 的方程． 3．已知椭圆 C: x2 y 2 3  2  1(a  b  0) 2 a b 的离心率为 2 ，且长轴长为 4． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 M ， N 两点（不与椭圆 C 的顶点重合），以 MN 为直径的圆过椭圆 C 的上顶点，证明：直线 l 过定点，并求出该定点坐标． 4．已知椭圆 C: x2 y 2   1(a  b  0) a2 b2 的右焦点为 F ，椭圆 C 上的点到 F 的距离的最大值和最小值 分别为 2 3 2 3 和 ． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若圆 O : x2  y2  r 2 uuu r uuur OA � OB  0 5．已知椭圆 C: l C 的切线 与椭圆 交于 A， B两点，是否存在正数 r ，使得 r ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． x2 y 2 1  2  1( a  b  0) 2 a b 的离心率为 2 ，右焦点为 F ，点 A(2, 0) 在椭圆上． （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 F 的直线 l （不与 x 轴重合）交椭圆 C 于点 M ， N ，直线 MA ， NA 分别与直线 x  4 交于点 P ， Q ．求证：以线段 PQ x 为直径的圆被 轴截得的弦长为定值． 6．设抛物线 | OM | 2 3 C : y 2  2 px( p  0) ， | MF | 3 C O 的焦点为 F ，点 M 在抛物线 上， 为坐标原点，已知 ． （1）求抛物线 C 的方程； （2）过焦点 F 作直线 l 交 C 于 A ， B 两点， P 为 C 上异于 A ， B 的任意一点，直线 PA ， PB 分别与 C 的准线相交于 D ， E 两点，证明：以线段 DE 为直径的圆经过 x 轴上的两个定点． 7．如图，椭圆 C: x2 y 2 3 6  2  1(a  b  0) ( 2, ) 2 a b 的离心率为 2 且经过点 2 ， P 为椭圆上的一动点． （1）求椭圆 C 的方程； 2 2 （2）设圆 x  y  ①求 k1k2 8 ，过点 作圆 O 的两条切线 l ， l ，两切线的斜率分别为 k ， k ． 5 1 2 1 2 P 的值； l1 A) C O x P Q A B ② 若 与椭圆 交于 ， 两点，与圆 切于点 ，与 轴正半轴交于点 （异于点 ， 且满足 SPOB  SQOA l ，求 1 的方程． 8．已知椭圆 为 4 2 （1）若 C: x2 y 2 6  2  1( a  b  0) 2 a b 的离心率为 3 ，且两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积 ． P 为椭圆 C 上一点，且 �F1 PF2  60� PF1 F2 ，求△ 的面积； （2）我们称圆心在椭圆 C 上运动，半径为 星圆”的两条切线，分别交椭圆 ① 求证： ② 试问 k1 � k2 C 于 A a 的圆是椭圆 C 的“卫星圆”，过原点 O 作椭圆 C 的“卫 2 ， B 两点，若直线 OA ， OB 的斜率存在，记为 k1 ， k2 ． 为定值； | OA |2  | OB |2 9．设 A ， B 为双曲线 C: 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． x2 y 2   1( a  0, b  0) a 2 b2 的左、右顶点，直线 l 过右焦点 F 且与双曲线 C 的 右支交于 M ， N 两点，当直线 l 垂直于 x 轴时， AMN 为等腰直角三角形． （1）求双曲线 C 的离心率； （2）若双曲线左支上任意一点到右焦点 F 点距离的最小值为 3， （ⅰ）求双曲线方程； （ⅱ）已知直线 以 PQ AM ， AN 分别交直线 x  a 于 ， Q 两点，当直线 l 的倾斜角变化时， 2 P x 为直径的圆是否过 轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点， 请说明理由． 参 考 答 案 1．（1） P 到焦点的最大值和最小值分别为： a  c ， a  c ， 由题意可得 ac 1  ，① ac 3 2b 2 3 F1 且垂直于长轴的椭圆 C 的弦长为 a ②， 又 a2  b2  c2 ③， 由①②③可得 a2  4 ， b2  3 ， c 1 ， x2 y2  1 3 所以椭圆 C 的标准方程为： 4 ； （2）由（1）可得左焦点 F1 (1, 0) 假设存在这样的直线 AB ， ，由于直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为： x  my  1 �x  my  1 �2 �x y2 设 ， ， ， ，联立 �  ，  1 整理可得： (4  3m 2 ) y 2  6my  9  0 A( x1 y1 ) B( x2 y2 ) 3 �4 可得： y1  y2  所以 令 6m 9 y y  ， 2 ， 1 2 4  3m 4  3m 2 | y1  y2 | ( y1  y2 ) 2  4 y1 y2  1  m 2  t�1 36m2 36 12 1  m2   (4  3m2 ) 2 4  3m2 4  3m2 ， ， 1 1  m2 t 1 f (t )   2  2 1 1 4  3m 3t  1 3t  3t  单调递减， 可得： 2 2 ，所以 ， 时 t�1 m  t 1 t t ， 1 所以 t  1 时， f (t ) 最大为 ， 4 1 所以 | y  y | 的最大值为： 12 �  3 ， 4 1 2 所以 SVABF2  设 ABF2 1 1 | F1 F2 | � | y1  y2 | � � 2c � 33， 2 2 r 的内切圆的半径为 ， 1 4a � r  4r ， 因为 ABF 的周长为 4a  4 �2  8 ， SVABF2  � 2 2 3 9 2 所以 4r�3 ， 的最大值为 ，这时内切圆的半径最大．且 S内切圆   r � ， 4 16 r 即存在这样的内切圆的面积的最大值为 2．（1）由题 F1 (c, 0) ， F2 (c,0) ， P (  c,  9 ． 16 b2 ) a ， b2 b2 b4 9 b2 3 uuur uuuu r )� (0 ) 2   PF1 � PF2  (2c ， a a 4 ，则 a 2 ， ， a 因为 所以 | PF1 | 、 | F1 F2 | 、 2 �2c  4c 2  | PF2 | 成等差数列， 9 3  4 2 ，解得 c  1 ，所以 a 2  b 2  1 ， � a2  b2  1 �2 � 联立 �b  3 ，解得 ， ， a 2  4 b2  3 �a 2 x2 y2  1 3 故椭圆 C 方程为： 4 ． （2）设点 A( x1 ， y1 ) ， B( x2 ， y2 ) ，直线 l : x  my  1 ， �x  my  1 �2 �x y2 联立 �  ，△ ，  1 ，有 (3m 2  4) y 2  6 my  9  0  144( m 2  1)  0 3 �4 则 y1  y2  6m 9 ， y1 y2   2 ，由题意，有 y  0 ， y  0 ， 2 3m  4 3m  4 1 2 由 SVABF2  1 1 1 | F1 F2 | ( y1  y2 )  (| AB |  | AF2 |  | BF2 |) � r1 ，得 r1  ( y1  y2 ) ， 2 2 4 由 SVAF1F2  1 1 1 | F1 F2 | � y1  (| AF1 |  | AF2 |  | F1 F2 |) � r2 ，得 r2  y1 ， 2 2 3 y2 5  3， 有 r1  2r2 ，解得 y1 y2 y1 ( y  y2 )2 36m 2 5 3 1  2 1    2 m2  2 ，解得 y y y y  9(3 m  4) 3 5 3， 2 1 2  1 y2 5 1 6m    1 m y1  y2  0 2 3 3， 3m  4 ， ， m  0 ， Q y1 故直线 l 的方程为 3．（1）由题意知， 结合 e a2  b2  c2 y   3( x  1) ． c 3  a 2 ，且 2a  4 ， ，解得 a  2, b  1, c  3 x2  y2  1 所以椭圆 C 的标准方程为 4 ． ， y  kx  m(k �0) M ( x1 y1 ) N ( x2 y2 ) l （2）直线 的斜率存在且不为零，设为 ， ， ， ， ， 联立直线