湖南省永州市第一中学高二上期 数学期末模拟试卷 （测试范围：选修一、数列） 第 I 卷（选择题） 一、单选题（本体共 8 小题，每小题 5 分） l1 : 2 x  y  2  0 l2 : 2 x  y  0 l1 l2 1．已知直线 ， ，则 与 间的距离为（ 2 5 5 A． 5 2．抛物线 （ B． 5 y 2  16 x 5 C． 2 D． 2 PF 上点 P 的横坐标为 4，则 P 到抛物线焦点 F 的距离 等于 ） A．12 B．10 C．8 y 2 x2   1   0  3．双曲线  3 的渐近线方程为（ A． y  � 3 x B． 1 y� x 3 4．将一张坐标纸折叠一次，使点 A． x y60 B． D．6 ） C． y  �3 x D． x y6  0 C． x y 60 Sn A．1 6．已知三棱柱 B．  ABC  A1 B1C1 所成角的余弦值为（ 1 A． 4 3 4 y� 3 x 3  2, 0  与  6,8  重合，求折痕所在直线是（ 5．设等差数列  an  ，  bn  的前 n 项和分别是 Sn , Tn ，若 Tn AC1 ） C． 的所有棱长均为 2，  x y6 0 a6 2n  3n  7 ，则 b3 （ 22 17 AA1  D． 10 C． 4 ） D．2 平面 ABC ，则异面直线 ） 6 B． 4 ）． 15 D． 4 A1 B ， 7．已知 F1 , F2 分别是双曲线 点 Q 为圆 C: x2  y2  1 4 的左、右焦点，动点 P 在双曲线的左支上， G : x 2  ( y  2) 2  1 上一动点，则 | PQ |  PF2 的最小值为（ ） A．6 B．7 C． 3 5 D．5 8．在归国包机上，孟晩舟写下《月是故乡明，心安是归途》，其中写道“过去的 1028 天，左右踟躇，千头万绪难抉择；过去的 1028 天，日夜徘徊，纵有万语难言说；过去 的 1028 天，山重水复，不知归途在何处.”“感谢亲爱的祖国，感谢党和政府，正是那一 抺绚丽的中国红，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗时刻，引领我回家的漫 长路途，”下列数列  an   n �N*  中，其前 n 项和可能为 1028 的数列是（ B． an  A． a  10n n 1028 4n 2  1 n 1 D． an  2  C． an   1 n 1 n 2  1028 1 2 二、多选题（本小题共 4 题，每小题 5 分） 1 9．已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－ an  1 ，能使 an＝3 的 n 可以为（ A．22 B．24 C．26 D．28 10．已知 uuu r AB  (0,1,1) ， uuu r BE  (2, 1, 2) ， BE  平面 ） BCD ，则（ ） ） 2 A．点 A 到平面 BCD 的距离为 3 2 B． AB 与平面 BCD 所成角的正弦值为 6 1 C．点 A 到平面 BCD 的距离为 3 3 D． AB 与平面 BCD 所成角的正弦值为 6 11．已知抛物线 C : x 2  2 py 的焦点坐标为 F，过点 F 的直线与抛物线相交于 A，B 两点， � 1� � 2, � 点 � 2 �在抛物线上．则（ ） A． p 1 B．当 1 1  C． | AF | | BF | 为定值 1 12．对于数列  an  ，定义 AB  y 轴时， | AB | 4 2 uuur uuu r � D．若 AF  2 FB ，则直线 AB 的斜率为 4 An  a1  2a2  L  2n 1 an n 为数列  an  的“好数”，已知某数列  an  的“好数” An  2n1 ，记数列  an  kn 的前 n 项和为 Sn ，若 Sn �S6 对任意的 n �N* 恒 成立，则 k 的可能取值为（ A．2 B． ） 16 7 C． 97 42 D． 7 3 第 II 卷（非选择题） 三、填空题 13．已知正项等比数列 14．已知圆 15．设数列  an  满足 a2 �a5 �a7 �a10  16 ，则 a6 的值为___________. C : x2  y 2  5 ，则过点 P  1, 2  的圆 C 的切线方程为________．  an  的前 n 项和为 Sn ， a1  1 ， 2Sn  nan1 ，则 a5  a7  ________. 16．已知双曲线 : x2 y 2   1( a  0, b  0) a2 b2 的右焦点为 F (c, 0) ，直线 l : y  k ( x  c) 与  的 x 左、右两支及 轴分别交于 A，B，C 三点，若 x 轴上的点 M 满足 | BM | 3 | AF | �AFB  �CBF  �FBM ，则  的离心率为___________. 四、解答题（本题共 6 题，其中 17 题 10 分，其他每小题 12 分） a  a  3 a4  3a2  2a3 17．已知 n 为各项均为正数的等比数列，且 1 ， ． （1）求数列 （2）令  an  的通项公式； bn  2n � an ，求数列  bn  前 n 项和 Sn ． ，且 18．已知圆 C 过点 (2, 1) ， (6,3) ， (2,3) ． （1）求 C 的标准方程； （2）若点 P ( x, y ) 在 C 上运动，求 3x  4 y 的取值范围． 19．如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PA  平面 ABCD， VABC 是正三角形， AD  CD  1 ， AB  3 ． （1）求证：平面 PAC  平面 PBD； （2）若直线 PC 与平面 ABCD 所成的角为 45°，平面 PAB 与平面 PCD 的交线为 l，求 二面角 A-l-C 的余弦值． 20．已知抛物线 C： y2  4x 的焦点为 F，直线 l： y  kx  4(1  k  2) 与 y 轴、抛物线 C 相交于 P，A， B( ) 自下而上 ，记△ PAF 、△ PBF 的面积分别为 S1 、 S2 ． （1）求 AB 中点 M 到 y 轴距离 d 的取值范围； S1 （2）求 S 2 的取值范围． 21．已知数列  an  中， a1  3 ，且满足 an 1  3an  2 �3n 1 . �an � �n � （1）证明：数列 �3 为等差数列，并求出数列  an  的通项公式； （2）若不等式 22．已知椭圆  an  4n 2  8n  3 C: ，对 n �N   恒成立，求 的范围. x2 y2 1   1(a  b  0) a 2 b2 的离心率为 2 ，经过点 P  2,3 . （1）求椭圆 C 的方程；（2）设点 A､B 在椭圆 C 上，直线 PA ､ PB 分别与 y 轴交于点 M､N， PM  PN ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如 果不是定值，请说明理由. 参考答案 1-8．A C DDAAAD 9．AD 10．BC 11．BCD 12．BCD 13． 2 14． x  2y 5  0 17．（1）设等比数列 15． 12 16． 7  an  公比为 q Q a4  3a2  2a3 a1q3  3a1q  2a1q 2 q 2  2q  3  0 Q an  0  q  3  an  3n （2） bn  2n � 3n S n  2 �3  4 �32  6 �33  L  2n � 3n 3S n  2 �32  4 �33  6 �34  L  2 n � 3n 1   2S n  2 3  32  33  L  3n  2 n � 3n 1   3 1  3n  2�  2n � 3n 1 1 3  3n 1 (1  2n)  3 � 1� 3 Sn  3n1 � n  � � 2� 2 18． （1）设 C 的一般方程为  x 2  y 2  Dx  Ey  F  0 D 2  E 2  4 F  0 5  2 D  E  F  0, � �D  4, � � 45  6 D  3E  F  0, � �E  6, 则� 解得 � ， 13  2 D  3E  F  0, � �F  3, ， 故 C 的一般方程为 化标准方程为 所以 C x2  y 2  4 x  6 y  3  0 ( x  2) 2  ( y  3) 2  16 的标准方程为 ， ． ( x  2) 2  ( y  3) 2  16 （2）解：由（1）知圆 C 的圆心为  2,3 ，半径为 r  4 ， 设 3x  4 y  z ， 所以 C 的圆心 (2,3) 到直线 3 x  4 y  z  0 的距离满足 d  | 6  12  z | �4 ， 5 解得 26 �z �14 ， 故 3x  4 y 的取值范围为 [26,14] ． 19．（1）在四棱锥 P-ABCD 中，因为 PA  平面 ABCD， BD �平面 ABCD，则 PA  BD ． 因 VABC 是正三角形，即 BA  BC ，又 AD  CD ，则 BD 为 AC 的垂直平分线， 因此， BD  AC ，而 PA, AC �平面 PAC，且 PA I AC  A ，于是得 BD  平面 PAC， 又 BD �平面 PBD， 所以平面 PAC  平面 PBD. （2）因 PA  平面 ABCD，则 �PCA 为直线 PC 与平面 ABCD 所成的角，即 �PCA  45�，