寒假作业 12 第五章一元函数的导数及其应用综合提升卷 一、单选题 1．已知 A． f  x   2x  1  e x B． 0 2．设函数 f  x 则（ ） A． f '  x  a 3．函数  A． 2 （ ） C． 2 f '  x  b 3 2 f  x   2 x  ln x D．  2 C． f '  x0   a  3  D． 12 2 C．-1 的单调递减区间为（ ） �1 � � , �� � C． �2 D．  �, 2  A． f '  x0   b  � 1� 0, � � B． � 2 � 围是（ D． 为常数， ） �1 � � ,2� A． �2 � 5．已知函数 1 2 f  x0  x   f  x0   ax  b  x  , a, b � � x  , �  cos x � 在 � 2 �上的最小值为（ 2  1 B． 2  4．函数 f�  0  在点 x 处附近有定义，且 B． f  x  ，则 f ( x )   x 3  ax 2  x  1 在 (�, �) a 上是单调递减函数，则实数 的取值范 ）  �,   � 3� �� � 3, � �  3, 3 � � B． � C． ( �,  3) �( 3, �) D．  3，3  1 � � ,3 � 3 � �上的最大值是（ 6．已知 x  2 是 f ( x)  2 ln x  ax  3x 的极值点，则 f ( x) 在 � 2 A． 2 ln 3  9 2 B．  5 2 C． 2 ln 3  17 18 D． 2 ln 2  4 ） 7．函数 A． y  kx  2 ln x x1  e 有两个零点 B． 8．已知定义在 R 上的函数 f  x  2x  ex  x1 ， x2 （ 0  x1  x2 x1  e y  f  x C． ），则下列说法正确的是（ x2  e D． 满足下列三个条件：①当 1 ≤≤x x2  e 0 时， 1 ；② y  f  x  1 的图象关于 y 轴对称；③ x �R ，都有 ex �2 � �5 � f � f �� f  x  2   f  2  x  .则 � �3 �、 �2 �、 11 � � f� � �3 �的大小关系是（ ） 11 � �2 � �5 � � f � � f � � f � � A． �3 � �2 � �3 � 11 � �5 � �2 � � f � � f � � f � � B． �3 � �3 � �2 � 11 � �5 � �2 � � f � � f � � f � � 2 3 C． � � � � �3 � 11 � �2 � �5 � � f � � f � � f � � 2 D． � � �3 � �3 � 二、多选题 9．已知 f  x   2x 的导数为 f�  x ，则必有（ ） A． f  x  f �  x B． f  x  �f �  x C． f  x  f �  x D． f  x  �f �  x 10．已知函数 ） f ( x) 的定义域为 (0, �) ，其导函数为 f�  x （ x �1 ） （ x �1 ） ，对于任意 x �(0, �) 1 x ln xf �  x   f ( x)  0 ，则使不等式 f ( x) ln x  1  x 成立的 x 的值可以为（ ，都有 ） 1 A． 2 B．1 C．2 D．3 11．在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者 互联网就能感受到．而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数 7 sin �  2i  1 x � �i �N* f  x  � �   的图象就可以近似模拟某种信号的波形，则下列说法 2i  1 i 1 正确的是（ ） A．函数 f（x）为周期函数，且最小正周期为 π B．函数 f（x）为奇函数 C．函数 y＝f（x）的图象关于直线 x＝ D．函数 f '  x 12．已知直线  t  2, 0   对称 2 有最大值为 7 xt 与曲线 y  ex 和 y   x2  x  2 ，则 VABC 的面积的可能为（ A．1 分别交于 B、C 两点，点 A 的坐标为 ） B．2 C．3 D．4 三、填空题 13．函数 f  x   1  lnx .的图象在点 1, f  1 处的切线的斜率为___________.   x 1 14．已知函数 f ( x) 在 x  x0 处可导，若 lim x �0 f ( x0  x)  f ( x0 )  1 ，则 f � ( x0 )  _________ 2 x ___． 15．已知 f ( x)  1 2 x  a ln x 在区间 (0, 2) 上不单调，则实数 a 的取值范围是__________. 2 x 3 16．已知 f  x   x  3 x  3  e x ， g  x   ln x  a  1 ， x1 � 0, 2 ， x2 � 1, 3 ，使得 f  x1  �g  x2  成立，则实数 a 的取值范围是___________. 四、解答题 17．已知函数 f  x   a ln x  bx 2  x 在 x  1 处的切线方程 6x  y  2  0 （1）求 a ， b 的值； （2）求 f  x 的单调区间与极小值． 18．已知函数 f  x   （1）若函数 f  x sin x . ex 的定义域为  0, 2  ，求 f  x 的极值点； ． �� x2 �� 0, （2）若 x1 ， � 2� �，证明： �x  x � 1 f �1 2 ��  f  x1   f  x2   . � 2 � 2 1 3 1 2 19．已知函数 f ( x )  x  ax  2 x (a �R ) 在 x  2 处取得极值. 3 2 （1）求 f ( x) 在 [2,1] 上的最小值； （2）若函数 g ( x)  f ( x)  b(b �R ) 有且只有一个零点，求 b 的取值范围. 20．已知函数 f  x   x3 （1）求函数在点 （2）求函数过点 A  1,1 B  1, 0  . 处的切线方程； 处的切线方程. 21．已知函数 f ( x )  ln x  （1）试讨论函数 f  x a x ， ，其中 a �R . x g ( x)  e  sin x 的单调性； （2）若 a  1 ，证明： f ( x)  22．设函数 f  x   ln  a  x  g ( x) . x ，已知 x  0 是函数 （1）求 a； （2）设函数 g ( x)  x  f ( x) xf ( x ) ．证明: g  x   1 ． y  xf  x  的极值点． 参考答案 1．A 【分析】 先求出 f  x 的导函数，再求出 f�  0 的值即可． 【详解】 1 1 1 1  Q f�  x  x    2 x  1 2 �2  e x � 1  2 e 2x 1 解： ， f�  0  1  1  0 . 故选：A． 2．C 【分析】 由导函数的定义可得选项. 【详解】 f  x0  x   f  x0   ax  b  x  , a, b 2 解：因为 为常数，所以 �f  x  x   f  x0  � f '  x0   lim � 0  a  bx   a � lim x �0 ， x � � x �0 故选：C. 3．D 【分析】 求出函数的导函数，根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可得出 答案. 【详解】 1 x  x    sin x ， 解：因为 f  x   2  cos x ，所以 f � 2 �  � x ��  , �  x   0 ， f  x  单调递减； � 2 6 �时， f � 当 � � x ��  , �  x   0 ， f  x  单调递增， � 6 �时， f � 当 3 � �  f  x  min  f �  �   故 � 6 � 12 2 . 故选：D. 4．B 【分析】 利用导数法求解. 【详解】 因为 f  x   2 x  ln x  x  2  所以 f � 当0  x  ， 1 2x 1  ， x x 1 时， f �  x  0 ， 2 � 1� 0, � � 所以函数的单调递减区间为 � 2 �， 故选：B 5．B 【分析】 求出函数的导数，根据函数 f  x 在  x  �0  �， �  �， � 上是单调递减函数，由 f � 在 上恒成立求解. 【详解】 Q f  x    x 3  ax 2  x  1 解： ， f�  x   3x 2  2ax  1 因为函数 f  x 在 ，  �， � 上是单调递减函数， f�  x  �0 所以 即 在  �， � 上恒成立， f�  x   3x 2  2ax  1 �0 在  �， �   4a 2  4 � 3 � 1  4a 2  12 �0 解得  3 �a � 3 上恒成立， ， ， �  3，3 � . � 所以实数 a