专题 21—复数 考试说明：1、理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件； 2、了解复数的代数表示法及其几何意义； 3、会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式 的加、减运算的几何意义； 4、会在复数范围内解实系数一元一次方程。 高频考点：1、复数的概念以及四则运算； 2、复数代数形式的加、减运算的几何意义； 3、复数的模及其几何意义； 高考中，复数一般出现在选择题的前 3 题中，比较简单，属于送分 题，分值为 5 分，提醒同学们要准确记忆一些概念。 一、典例分析 1．（2021•新高考Ⅱ）复数 A．第一象限 2．（2021•乙卷）设 2i 在复平面内对应点所在的象限为 ( 　　 ) 1  3i B．第二象限 C．第三象限 2( z  z )  3( z  z )  4  6i A． 1  2i ，则 B． 1  2i z( 　　 C． 1  i D．第四象限 ) D． 1  i (1, 2) i� z( ) z 3．（2020•北京）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 　　 A． 1  2i 4．（2020•新课标Ⅰ）若 A．0 B． 2  i z  1  2i  i 3 B．1 C． 1  2i ，则 | z | ( 　　 C． D． 2  i ) 2 D．2 5．（2020•新课标Ⅲ）复数 A．  3 10 B．  6．（2017•山东）已知 A．1 或 1 的虚部是 ( 　　 ) 1  3i a �R 1 1 10 C． 1 10 D． 3 10 a( ) i z  a  3i z gz  4 ， 是虚数单位，若 ， ，则 　　 7 B．  7 或 C．  3 3 D． ( ) 7．（2017•新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是 　　 A． i (1  i ) 2 B． i 2 (1  i) 8．（2016•上海）在复平面上，满足 A．两个点 C． | z  1| 4 (1  i ) 2 D． i (1  i ) ( ) z 的复数 的所对应的轨迹是 　　 B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆 ( ) i i 607 9．（2015•湖北） 为虚数单位， 的共轭复数为 　　 B． i A． i 10．（2021•上海）已知 z  1  3i D． 1 C．1 ，则 | z  i | 　　． a 11．（2016•天津）已知 ， ， 是虚数单位，若 ，则 的值为　　． (1  i)(1  bi )  a a b �R i b 12．（2020•新课标Ⅱ）设复数 z1 ， z2 满足 | z1 || z2 | 2 ， z1  z2  3  i ，则 | z1  z2 | 二、真题集训 1．（2021•甲卷）已知 3 A． 1  i 2 (1  i )2 z  3  2i 3 B． 1  i 2 2．（2020•新课标Ⅰ）若 z  1  i ，则 A．0 B．1 3．（2019•全国）复数 z  ，则 z( 　　 ) 3 C．   i 2 | z 2  2 z | ( 　　 C． 3 D．   i 2 ) 2 1 i 在复平面内对应的点在 ( 　　 ) 2i D．2 　　． A．第一象限 B．第二象限 4．（2019•新课标Ⅰ）设 z  A．2 C．第三象限 D．第四象限 3i ，则 | z | ( 　　 ) 1  2i 3 B． 2 C． D．1 1 3 z  i 2 5．（2018•全国）设 2 2 ，则 z  z  ( 　　 ) A． 1 B．0 C．1 6．（2018•北京）在复平面内，复数 A．第一象限 D．2 1 的共轭复数对应的点位于 ( 　　 ) 1 i B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (1  2i )2 2 7．（2016•全国）复数 (2  i) 的模为 ( 　　 ) A．1 B．2 5 C． D．5 z ( 8．（2016•新课标Ⅲ）若 z  4  3i ，则 | z | 　　 ) A．1 9．（2016•新课标Ⅲ）若 A．1 B． C． 1 4 3  i 5 5 D． 4 3  i 5 5 4i  ( 　　 ，则 ) z  1  2i z� z 1 B． 1 10．（2015•福建）若集合 A  {i D． i C． i 2 3 ，i ，i ， i 4 }(i 是虚数单位）， B  {1 ， 1} ( ) 于 　　 A． {1} 11．（2016•上海）设 z  B． {1} C． {1 ， 1} D． � 3  2i ，其中 i 为虚数单位，则 的虚部等于　　． i z 12．（2020•上海）已知复数 z 满足 z  2 z  6  i ，则 z 的实部为　　． ，则 AI B 等 5i | 的值为　　． 13．（2019•天津） 是虚数单位，则 | i 1 i (1  i ) z  1  7i (i | z | z 14．（2018•上海）已知复数 满足 是虚数单位），则 　　． 典例分析答案 1．（2021•新高考Ⅱ）复数 A．第一象限 2i 在复平面内对应点所在的象限为 ( 　　 ) 1  3i B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案． 2  i (2  i )(1  3i ) 2  6i  i  3i 2 5  5i 1 1      i 12  ( 3) 2 10 2 2 ， 解答：解：Q 1  3i (1  3i)(1  3i )  在复平面内，复数 2i 1 1 对应的点的坐标为 ( ， ) ，位于第一象限． 1  3i 2 2 故选： A ． 点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础 题． 2．（2021•乙卷）设 A． 1  2i 2( z  z )  3( z  z )  4  6i B． 1  2i ，则 z( 　　 C． 1  i ) D． 1  i 分析：利用待定系数法设出 z  a  bi ， a ， b 是实数，根据条件建立方程进行求解即可． 解答：解：设 z  a  bi ， a ， b 是实数， 则 z  a  bi ， 则由 2( z  z )  3( z  z )  4  6i 得 2 �2a  3 �2bi  4  6i ， 得 4a  6bi  4  6i ， ， 4a  4 � � 6b  6 ，得 a  1 ， b  1 ， 得� 即 z 1 i ， 故选： C ． 点评：本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，是基 础题． (1, 2) i� z( ) z 3．（2020•北京）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 　　 A． 1  2i B． 2  i C． 1  2i D． 2  i 分析：根据复数的几何意义先求出 z 的表达式，结合复数的运算法则进行计算即可． (1, 2) Q z 解答：解： 复数 对应的点的坐标是 ，  z  1  2i 则 ， i� z  i (1  2i )  2  i ， 故选： B ． 点评：本题主要考查复数的运算，结合复数的几何意义求出复数的表达式是解决本题的关 键．比较基础． 4．（2020•新课标Ⅰ）若 A．0 z  1  2i  i 3 ，则 B．1 | z | ( 　　 C． ) 2 分析：根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可． 解答：解： z  1  2i  i 3  1  2i  i  1  i | z | 12  12  2 故选： C ． ． ， D．2 点评：本题考查了复数的定义以及复数模的求法，是基础题． 5．（2020•新课标Ⅲ）复数 A．  3 10 1 的虚部是 ( 　　 ) 1  3i B．  1 10 C． 1 10 D． 3 10 分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 1 1  3i 1 3    i 解答：解：Q 1  3i (1  3i )(1  3i ) 10 10 ，  复数 1 3 的虚部是 ． 1  3i 10 故选： D ． 点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 6．（2017•山东）已知 A．1 或 a �R 1 a( ) i z  a  3i z gz  4 ， 是虚数单位，若 ， ，则 　　 B． 7 或  7 C．  3 D． 3 分析：求得 z 的共轭复数，根据复数的运算，即可求得 a 的值． 解答：解：由 由 z  a  3i z  a  3i z ，则 的共轭复数 ， z gz  (a  3i )(a  3i )  a 2  3  4 2 ，则 a  1 ，解得： a  �1 ，  a 的值为 1 或 1 ， 故选： A ． 点评：本题考查共轭复数的求法，复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题． ( ) 7．（2017•新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是 　　 A． i (1  i ) 2 B． i 2 (1  i) C． (1  i ) 2 分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论． 解答：解： A ． i(1  i) 2  ig2i  2 ，是实数． 2 B ． i (1  i )  1  i ，不是纯虚数． D． i (1  i ) C D ． ． (1  i )2  2i 为纯虚数． i(1  i)  i  1 不是纯虚数． 故选： C ． 点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题． 8．（2016•上海）在复平面上，满足 A．两个点 | z  1|