第六章 计数原理 6.3 二项式定理 6.3.1 二项式定理 一、温故知新 组合数公式 : A n(n  1)(n  2)L (n  m  1) ;  1 .C   A m! n! m ；  2  .Cn  m !(n  m)! m n m m m n  3 . 性质 1: C n  C n 性质2.C m nm m n 1 m n ; C  C m 1 n . 我们规定：Cn  1. 0 二、探究新知 1. 我们知道 ( a  b) 2 a 2  2ab  b 2 , 3 3 2 32 3 3 2 2 3 ((a ab) a  3ba b) 3ab   b . a  3a b  3ab  b . (1). 观察以上展开式 , 分析其运算过程 , 你能发现什么规 律? (2).根据你发现的规律你能写出的展开式吗？ , ( a  b) 4 (3).进一步地你能写出的展开式吗？ , ( a  b) n 二、探究新知 分析的展开过程 ( a  b) 2 , 分析a 2 k k b 的同类项个个数 2 (a  b) (a  b)( a  b) a(a  b)  b(a  b) 1 1 2 a a  a b  b a  b b 共有C2 C2 2 项 2 k k 2 2 a b (k 0,1,2) a  2ab  b . 当k 0时, a 2 k b k a 2 a 2出现的次数相当于从2个 (a  b)中取出0个b的组合数C20 , 即a 2只有1个. 当k 1时, a 2 k b k ab ab出现的次数相当于从2个 1 (a  b)中取出1个b的组合数C2 , 即ab共有2个. 当k 2时, a 2 k b k b 2 b 2出现的次数相当于从2个 2 (a  b)中取出2个b的组合数C2 , 即b 2只有1个. 二、探究新知 2 ( a  b) (a  b)( a  b) 2 2 a  2ab  b . 2 k k 2 当k 0时, a b a a 2出现的次数相当于从2个 0 (a  b)中取出0个b的组合数C2 , 即a 2只有1个. 2 k k 当k 1时, a b ab ab出现的次数相当于从2个 1 (a  b)中取出1个b的组合数C2 , 即ab共有2个. 2 k k 2 2 当k 2时, a b b b 出现的次数相当于从2个 2 2 (a  b)中取出2个b的组合数C2 , 即b 只有1个. 2 0 2 2 1 2 2 2 2  (a  b) C a  C ab  C b . 思考 : 仿照上述过程, 你能利用计数原理, 写出 3 4 (a  b) , (a  b) 的展开式吗？ 3 0 3 3 1 2 3 2 3 2 3 3 3 (a  b) C a  C a b  C ab  C b . 4 0 4 4 1 3 4 2 4 2 2 3 4 3 4 4 4 (a  b) C a  C a b  C a b  C ab  C b . (a+b) =? n 2. 二项展开式定理  a  b n 1 C n0 a n  C n a n  1b    C nk a n  k bk n   Cn  n  N * nb 每个都不取 b 的情况有 1 种 , 即 Cn0 , 则 an 前的系数 为 Cn0 恰有 1 个取 b 的情况有 Cn1 种 , 则 an-1b 前的系数为 Cn 1 恰有 2 个取 b 的情况有 Cn2 种 , 则 an-2b2 前的系数为 Cn 2 ...... 恰有 k 个取 b 的情况有 Cnk 种 , 则 an-kbk 前的系数为 Ck 2. 二项展开式 (a  b) n  Cn0 a n  Cn1 a n 1b  L  Cnk a n  k b k  L  Cnnb n , n �N  右边的多项式叫做 (a+b)n 的二项展开式 其中各项的系数Cnk (k 0,1,2, , n)叫做二项式系数. Cnk a n k b k叫做二展开式用 式的表示 通项, Tk 1 , k n Tk 1 C a n k b k 即通项为展开式的第k  1项 特点：① . 二项展开式共有 n+1 项 . ②. 各项中 a 的指数从 n 起依次减小 1 ，到 0 为止 各项中 b 的指数从 0 起依次增加 1, 到 n 为止。 n 0 1 2 2 k k n n ( 1  x )  C  C x  C x    C x    C 特别地 n n n n nx 三、巩固新知 1 6 例 1.求( x  ) 的展开式. x 解 : 根据二项式定理, 1 6 ( x  ) ( x  x  1 ) 6 x C60 x 6  C61 x 5 x  1  C62 x 4 x  2  C63 x 3 x  3  C64 x 2 x  4  C65 x1 x  5  C66 x  6  x 6  6 x 4  15 x 2  20  15 x  2  6 x  4  x  6 例 2. (1). 求 (1+2x)7 的展开式的第 4 项的系 数; (1+2x)7 的展开式的第 4 项是 解(1). : T3+1=C ·1 · (2x) 3 7 7-3 3 3 7 C 35 =35× 23× x3 =280x3 所以第 4 项的系数是 280. 注意：通项是 Tk+1 ，所以第 4 项中 k=3 1 6 (2 x  ) 例 2.  2  .求的展开式中的系数 x x 2 1 6 解 :  2  .(2 x  ) 的展开式的通项是 x 1 k k 6 k k 3 k k 6 k C6 ( 2 x ) (  ) ( 1) 2 C6 x . x 根据题意, 得 3  k 2, 即, k 1. 5 1 (  1 )  2  C 因此, x 的系数是 6  192. 2 . 3. 变式练习 (1). 求 (1+2x)7 的展开式的第 4 项的二项式的 系数 . 3 第 4 项的二项式系数C 7 35 ， 注意 :1). 注意对二项式定理的灵活应用 . 2). 注意区别二项式系数与项的系数的概念 . 二项式系数： Cnr 项的系数：二项式系数与数字系数的积 3). 求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展 开. 3. 变式练习 6 1 � � ( 2).求的展开式 2 x � � x� � 6 解 . 6 1 1   2x  1  6 2 x      3  2 x  1 x  x  x  1 6 1 5 2 4 3 3 = 3 [ ( 2x)  C6 (2 x)  C6 (2 x)  C6 (2 x) x C (2 x)  C (2 x)  C ] 4 6 2 5 6 6 6 60 12 1 =64 x  192 x  240 x  160   2  3 x x x 3 2 3. 变式练习 4 � 1� (3).展开 � 1 � � x� 4 2 3  1 1 1  2 1  3 1  4 1  解 :1   1  C4    C4    C4    C4    x  x  x  x  x 4 6 4 1 1   2  3  4 x x x x 4 3. 变式练习 (4). 求 (x+a)12 的展开式中的倒数第 4 项 解: (x+a)12 的展开式有 13 项 , 倒数第 4 项 是它的第 10 项，此时通项 Tk+1 中的 k=9 9 12 9 12 T91  C x a  220 x a . 9 3 9 3. 变式练习 9 �x 3 � (5).求的展开式常数项 �3  � x� � 1 9 r  r r x 9r 3 r r 1 9r r 解 : Tr 1  C9 ( ) ( )  C9 ( ) 3 x 2 3 3 x 1 由9- r- r  0得r  6. 2 所以，展开式的常数项为 1 96 6 T7  C ( ) 3  2268 3 6 9 3. 变式练习 x 3 9 ) (6). 求(  3 x 的展开式的中间两项 解 : 展开式共有 10 项 , 中间两项是第 5,6 项 x 9 4 3 4 3 T5  T41  C ( ) ( )  42 x 3 x 3 4 9 x 4 3 5 2 T6 C ( ) ( ) 378 x 3 x 5 9 77 例 3.试判断77  1能否被19则整除. 解: 77 77 77  1 (76  1)  1 0 77 77 1 77 76 2 77 75 76 77 77 77 C 76  C 76  C 76    C 76  C  1 76 1 77 75 2 77 74 76 77 76(76  C 76  C 76    C )  76能被19整除， 77  77  1能被19整除.