绝密★本科目考试启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 本试卷共 5 页，150 分，考试时长 120 分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结 束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合 A． {1,0,1} A  {1,0,1, 2} B． 2．在复平面内，复数 A． 1  2i 3．在 A． B． ， B  {x | 0  x  3} {0,1} z C． {1,1, 2} 对应的点的坐标是 2  i C． ，则 (1, 2) D． ，则 1  2i A �B  i� z D． （ ）． {1, 2} （ ）． 2  i ( x  2)5 的展开式中， x 2 的系数为（ ）． 5 B．5 C． 10 D．10 4．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ A． 6  3 B． 6  2 3 5．已知半径为 1 的圆经过点 A．4 B．5 (3, 4) C． 12  3 ）． D． 12  2 3 ，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． C．6 D．7 6．已知函数 A． C． f ( x)  2 x  x  1 ，则不等式 f ( x )  0 的解集是（ ）． (1,1) B． (0,1) D． 7．设抛物线的顶点为 段 FQ O ，焦点为 的垂直平分线（ A．经过点 (�,0) �(1, �) F l ，准线为 ． B．经过点 C．平行于直线 P 是抛物线上异于 O 的一点，过 P 作 PQ  l 于 Q ，则线 ）． O 8．在等差数列 (�, 1) �(1, �) OP P OP D．垂直于直线 an (n  1, 2, )  an  中， a1  9 ， a5  1 ．记 Tn  a1a2…… T  ，则数列 n （ A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项   k  (1) 9．已知  ,  �R ，则“存在 k �Z 使得 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 k ）．  ”是“ sin   sin  ”的（ ）． B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 10．2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（  Day）．历史上，求圆周率  的方法有多种，与中国 传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 形的周长和外切正 6n 边形（各边均与圆相切的正 6n n 充分大时，计算单位圆的内接正 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 值．按照阿尔·卡西的方法，  的近似值的表达式是（ ）． � 30� 30�� 3 n sin  tan � A． � n n � � � 30� 30�� 6 n sin  tan � B． � n n � � � 60� 60�� 3 n sin  tan � C． � n n � � � 60� 60�� 6 n sin  tan � D． � n n � � 2 6n 边 的近似 第二部分（非选择题 共 10 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11．函数 f ( x)  12．已知双曲线 1  ln x 的定义域是____________． x 1 C: x2 y 2  1 ，则 C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是______ 6 3 ___． uuur 1 uuur uuur uuur uuu r uuur AP  ( AB  AC ) | PD | _________； PB � 13．已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 满足 ，则 2 PD  ___ ______． 14．若函数 f ( x)  sin( x   )  cos x 的最大值为 2，则常数  的一个取值为________． 15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、 设企业的污水摔放量 W 与时间 t 的关系为 W  f (t ) ，用  f (b)  f (a ) 的大小评价在 [a, b] 这段时间内企 ba 业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示。 给出下列四个结论： ①在 ②在  t1 , t2  这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； t2 t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③ 在 3 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④ 甲企业在  0, t1  ,  t1 , t2  ,  t2 , t3  这三段时间中，在  0, t1  的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 三、解答题共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．（本小题 13 分） 如图，在正方体 （Ⅰ）求证： （Ⅱ）求直线 ABCD  A1 B1C1 D1 BC1 / / AA1 平面 与平面 AD1E AD1 E 中，E 为 BB1 的中点． ； 所成角的正弦值． 17．（本小题 13 分） 在 VABC 中， a  b  11 ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值： （Ⅱ） sin C 和 VABC 的面积． 条件①： c  7,cos A   1 7； 1 9 cos A  , cos B  条件②： 8 16 ． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题 14 分） 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动 方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200 人 400 人 300 人 100 人 方案二 350 人 250 人 150 人 250 人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立． （Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率； （Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的 概率； （Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为 其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 p1 p0 ，假设该校年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年级外 ，试比较 p0 与 p1 的大小．（结论不要求证明） 19．（本小题 15 分） 已知函数 f ( x)  12  x 2 （Ⅰ）求曲线 （Ⅱ）设曲线 y  f ( x) y  f ( x) ． 的斜率等于 在点 2 的切线方程； (t , f (t )) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 S (t ) ，求 S (t ) 的最小值． 20．（本小题 15 分） 已知椭圆 C: x2 y 2  1 过点 A(2, 1) ，且 a  2b ． a 2 b2 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程： （Ⅱ）过点 B(4, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于点 | PB | 求 | BQ | 的值． 21．（本小题 15 分） 已知  an  是无穷数列．给出两个性质： M,N ,直线 MA, NA 分别交直线 x  4 于点 P, Q ． ai2  am ① 对于  a  中任意两项 a , a (i  j ) ，在  a  中都存在一项 a ，使 a ； n n i j j m ② 对于  an  中任意项 a (n�3) ，在  an  中都存在两项 a , a (k  l ) ．使得 n k l an  ak2 al ． （Ⅰ）若 an  n(n  1, 2,L ) ，判断数列  an  是否满足性质①，说明理由； （Ⅱ）若 an  2n 1 (n  1, 2,L ) ，判断数列  an  是否同时满足性质①和性质②，说明理由； （Ⅲ）若  an  是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：  an  为等比数列。 （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学 参考答案 一、选择题 1-5　 D B C D A　　6-10　 D B B C A 二、填空题 11. (0, �) 12. (1).  3, 0  (2). 13. (1). 5 (2). 1 3   2k  , k �Z 14. 2 （ 均可） 2 15. ①②③ 三、解答题 2 16. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 3 . 17. 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ） sin C  选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ） sin C  3 2 , S 6 3； 7 15 7 S  4 , 4 . 3 1 18. 【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为 3 ，该校女生支持方案一的概率为 4 ； 13 （Ⅱ） 36 ,（Ⅲ） p1  p0 19. 【答案】（Ⅰ） 2 x  y  13  0 ，（Ⅱ） 32 . x2 y 2  1 20. 【答案】（Ⅰ） 8 ；（Ⅱ）1. 2 a32 9 Q a2  2, a3  3,  �Z  an  21. 【答案】(Ⅰ) 不具有性质①； a2 2 (Ⅱ) Q i, j �N * , i  j , ai 2 a2  2(2i  j )1 , 2i  j �N *  i  a2i  j  an  具有性质①， aj aj ak 2 Q n  N , n 3, k  n 1, l  n  2,  2(2 k l ) 1  2 n 1  an ,