专题 24 逆用导数运算法则构造函数型 [真题再现] 例1 设奇函数 f(x)定义在(－，0)∪(0，)上其导函数为 f(x)，且 f()＝0，当 0＜x＜时， f(x)sinx－f(x)cosx＜0，则关于 x 的不等式 f(x)＜2f()sinx 的解集为 ． 【答案】(－，0)∪(，) 【分析】这是一道难度较大的填空题，它主要考查奇函数的单调性在解不等式中的应用， 奇函数的图象关于坐标原点中心对称，关于原点对称的区间上具有相同的单调性；在 公共定义域上两个奇函数的积与商是偶函数，偶函数的图象关于 y 轴轴对称，关于原 点对称的区间上具有相反的单调性，导数是研究函数单调性的重要工具，大家知道 () ＝，(sinx)＝cosx，于是本题的本质是构造来解不等式 【解析】设 g(x)= ，则 g (x)= ()＝， 所以当 0＜x＜时，g (x)<0，g(x) 在(0，)上单调递减 又由于在(0，)上 sinx＞0，考虑到 sin＝，所以不等式 f(x)＜2f()sinx 等价于＜，即 g(x)< g(),所以此时不等式等价于＜x＜. 又因为 f(x) 、sinx 为奇函数，所以 g(x)是偶函数，且在(－，0)上 sinx＜0，所以函数 g(x)在(－，0)是单调递增函数，原不等式等价于 g(x)＞g(－)=，所以此时不等式等价于 －＜x＜0， 综上，原不等式的解集是(－，0)∪(，)． 例2 函数 f (x ) f (x )>2 x +4 的定义域为 的解集为 R ， f (−1)=2 ，对任意 x∈ R ' ， f ( x )>2 ，则 . 【答案】（ −1 ，+ ∞ ） 【分析】题目应归结为“解抽象函数型不等式”问题，解决方法是“逆用函数的单调性” .题目 ' 中哪个条件能让你联想到“函数的单调性”呢？注意到已知中 g ( x) ，使得 g� ( x)  f � ( x)  2 ，不难得到 f ( x )>2 g ( x)  f ( x)  2 x  c ，只需构造函数 c （这里 为常数，本题 中取 c0 ），进而利用 【解析】构造函数 g ( x) 的单调性，即可找到解题的突破口. g ( x)  f ( x)  2 x g (1)  f (1)  2 � （） 1  4 另一方面所求不等式 性定义易知 x 1 ，则 g� ( x)  f � ( x)  2  0 ，故 g ( x) 单调递增，且 . f (x )>2 x +4 ，则不等式的解集为 ， 就转化为 (1, �) g ( x)  f ( x)  x  g (1) ，逆用单调 . 例 3 设 f(x)是定义在 R 上的可导函数，且满足 f(x)＋xf′(x)>0，则不等式 f()>·f()的解集为___ _____． 【答案】[　[1,2) 【解析】设 F(x)＝xf(x)，则由 F′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，可得函数 F(x)是 R 上的增函数． 又>0，∴由 f()>f()可变形得 f()>f()，即 F()>F()， ∴解得 1≤x<2. 点评： 题目已知中出现含 f(x)、f′(x)的不等式，一般应考虑逆用导数的运算法则构造新，然后 再逆用单调性等解决问题，构造新函数的方法有： 1.对于 2. f� ( x)  a ，构造 h( x )  f ( x)  ax  b . � � 对 于 xf ( x)  f ( x)  0( 0) ， 构 造 h( x)  xf ( x ) ； 一 般 的 ， 对 于 xf � ( x)  nf ( x)  0( 0) ，构造 h( x)  x n f ( x) ． � 对 于 xf ( x)  f ( x)  0( 0) ， 构 造 3. xf � ( x)  nf ( x)  0( 0) ，构造 4. 对 于 h( x )  h x   f  x x ； 一 般 的 ， 对 于 h x   f  x ex ； 一 般 的 ， 对 于 f ( x) xn ． f� ( x)  f ( x)  0( 0) ， 构 造 f� ( x)  nf ( x)  0( 0) ，构造 5. h( x )  f ( x) e nx ． f� ( x)  f ( x)  0( 0) ， 构 造 h x  e x f  x  ； 一 般 的 ， 对 于 对 于 f� ( x)  nf ( x)  0( 0) ，构造 h( x )  e nx f ( x) ． 对 6. f� ( x )  f ( x ) tan x(或f � ( x)  f ( x ) tan x) 于 f� ( x) cos x  f ( x)sin x  0( 0) ，构造 h( x )  f ( x ) cos x � 7.对于 f ( x) cos x  f ( x)sin x  0( 0) ，构造 h( x)  ， 即 ． f ( x) cos x ． f� ( x) 0 8.对于 f ( x ) ，构造 h( x )  ln f ( x ) . x � 9.对于 f ( x )  ln af ( x)  0( 0) ，构造 h( x)  a f ( x) . 10.对于 f� ( x) ln x  f ( x)  0( 0) x ，构造 h( x)  f ( x ) ln x . [强化训练] 1.函数 f(x)的定义域是 R，f(0)＝2，对任意 x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式 ex·f(x)>ex＋1 的解 集为______． 【答案】　(0，＋∞) 【解析】构造函数 g(x)＝ex·f(x)－ex， 因为 g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0， 所以 g(x)＝ex·f(x)－ex 为 R 上的增函数．又因为 g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化 为 g(x)>g(0)，解得 x>0. 2. 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f  x ，设其导函数为 f '  x ，当 x � �,0 1 xf '  x   f   x  ，则满足 3  2 x  1 f  2 x  1  f  3 的实数 x 的取值范围是 【答案】  1,2  时，恒有 ． y  f  x  x  R  3. 已 知 f  x   3x 2 的导函数为 ，则不等式 f  x  .若 f  x   f   x  2x 3 f  x   f  x  1  3 x 2  3x  1 的解集是 ， 且 当 x 0 时 ， . 1 【答案】 ( 2 ,+∞) f ( x) 满足 f (2)  1 ，且 f ( x) 的导函数 f � ( x)  x  1 ，则不等 4．已知定义在 R 上的函数 1 2 x  x 1 2 的解集为（ ）  x 2  x  2  x x  2 式 f ( x)  A．  x x  2 C． 【答案】C． B． D． {x | x  2 或 x  2} 5．设 f ( x ), g ( x ) 在 [a , b] 上可导，且 f '( x )  g '( x) ，则当 a  x  b时， 有（ A. f ( x)  g ( x ) B. f ( x)  g ( x) C. f ( x)  g ( a )  g ( x)  f (a ) D. f ( x )  g (b)  g ( x )  f (b) 【答案】C 【 解 析 】 构 造 函 数 F ( a )  F ( x )  F (b) F ( x)  f ( x)  g ( x) ， ， 则 易 知 f ( x )  g ( x )  f (a )  g ( a ) F ( x) ） 单 调 递 增 ， 于 是 ，选 C. 6. 设 f ( x) 是 定 义 在 (0, �) 上 的 可 导 函 数 ， 且 f ( x )   xf '( x ) ， 则 不 等 式 f ( x  1)  ( x  1) f ( x 2  1) 的解集是（ A. (0,1) 【答案】D B. (1, �) C. ） D. (2, �) (1,2) 【 解 析 】 构 造 函 数 [ xf ( x )]'  f ( x )  xf '( x )  0 ， 于 是 该 函 数 递 减 ， f ( x  1)  ( x  1) f ( x 2  1) 变 形 为 ( x  1) f ( x  1)  ( x 2  1) f ( x 2  1) ， 于 是 �x  1  0 �2 �x  1  0 �x  1  x 2  1 � ，得 x  2 ，选 D. 7．定义在 R 上的可导函数 f  x ，当 x � 1, � 时，  x  1 f �  x   f  x   0 恒成立，     1 f  3 , c  2  1 f 2 2 ，则 a, b, c 的大小关系为（ c  a  b B． b  c  a C． a  c  b D． c  b  a a  f  2 , b  ） A． 【答案】A f  x ， x 1 f�  x   x  1  f  x   0  x  当 时， g � 2 ，即函数 单调递增， x � 1, � g  x  x  1 【解析】构造函数 g  x   则 a  f  2  c  则g f  2 f  3 1  g  2  ， b  f  3   g  3 ， 2 1 2 3 1   2  2 1 f f  2  g 2 1  2  2   g  2  g  3 ，即 c  a 