高考二轮概率、随机变量及其分布列专项训练 （原卷+答案） 考点一　古典概型与几何概型——构建模型，合理分类 1．古典概型的概率公式 P(A)＝ m 事件 A 中所含的基本事件数 . ＝ n 试验的基本事件总数 2．几何概型的概率公式 P(A)＝ 构成事件 A 的区域长度 ( 面积或体积 ) . 试验的全部结果所构成的区域长度 ( 面积或体积 ) [例 1]　(1)[一题多解][2021·全国甲卷]将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不 相邻的概率为(　　) A. 1 2 2 4 　　　B． 　　　C． 　　　D． 3 5 3 5 (2)[2021·全国乙卷]在区间(0，1)与(1，2)中各随机取 1 个数，则两数之和大于 7 4 的概率为(　　) A. 7 9 B． 23 32 C． 9 32 D． 2 9 [考查知识]　古典概型与几何概型． [核心素养]　逻辑推理，数学运算． 归纳总结 解答几何概型、古典概型问题时的策略 (1)有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事 件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识． (2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包 含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性． (3)利用几何概型求概率时，关键是确定构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域， 有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． 对点训练 1．[一题多解][2021·武汉模拟]我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五 种元素构成的，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到战国晚期，五行相生相克的 思想被正式提出．这五种元素的相生相克关系如图所示，若从这五种元素中随机选取三种， 则取出的三种元素中，彼此间恰好有一个相生关系和两个相克关系的概率为(　　) A． 3 5 1 2 B． C． 2 5 D． 1 3 2. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角 形、一块小正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的大正方形， 若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为________． 考点二　相互独立事件和独立重复试验——正难则反 1．条件概率 在 A 发生的条件下 B 发生的概率： P(B|A)＝ P ( AB ) . P(A) 2．相互独立事件同时发生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)． 3．独立重复试验、二项分布 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次 k 的概率为 Pn(k)＝ Cn pk(1－p)n－k，k＝0，1，2…，n. [例 2]　11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10∶10 平后，每球交换发 球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发 球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立．在某局双 方 10∶10 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束． (1)求 P(X＝2)； (2)求事件“X＝4 且甲获胜”的概率． [考查知识]　相互独立事件概率乘法公式． [核心素养]　逻辑推理，数学运算． 归纳总结 求相互独立事件的概率的两种方法 直接法 正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥事件的和事件或几 个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式 求解． 间接法 当复杂事件正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解．对 于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解． 对点训练 [2021·山东济宁联考]为吸引顾客，某商场举办购物抽奖活动．抽奖规则是：从装有 2 个白球和 3 个红球(小球除颜 色外，完全相同)的抽奖箱中，每次摸出一个球，不放回地依次摸取两次，记为一次抽 奖．若摸出的 2 个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．下列随机事件的概率错误的是 ( ) A．某顾客抽奖一次中奖的概率是 2 5 B．某顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是 98 125 3 10 1 D．在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是 2 C．在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是 考点三　离散型随机变量的分布列、均值与方差——综合各类概率，活用分布模型 离散型随机变量的均值与方差 (1)均值与方差的性质 ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b； ②D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b 为实数)． (2)两点分布与二项分布的均值、方差 ① 若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； ② 若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． [例 3]　[2021·济南模拟]甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者赢得比赛，比 赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是 1 2 2 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 3 . 假设各局比赛结果互相独立． (1)分别求甲队以 3∶0，3∶1，3∶2 胜利的概率． (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1，则胜利方得 3 分，对方得 0 分，若比赛结果为 3∶2，则胜 利方得 2 分，对方得 1 分，求乙队得分 X 的分布列及数学期望． [考查知识]　相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量的期望与分布列． [核心素养]　逻辑推理，数学运算． 归纳总结 计算期望与方差的基本方法 (1)已知随机变量的概率分布求它的期望、方差和标准差，可直接用定义或公式求． (2)已知随机变量 X 的期望、方差，求 X 的线性函数 Y＝aX＋b 的期望、方差和标准差， 可直接用期望及方差的性质求． (3)若能分析出所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接利 用它们的期望、方差公式来求． 对点训练 智能制造被认为是未来工业转型的核心，某报告显示，2020 年全国制造业智能制造能 力成熟度较 2019 年有所提升．为了解某地区企业的智能制造水平，随机抽取了 100 家企 业对智能制造的水平进行评分，根据这 100 家企业的智能制造评分情况，绘制了如图所示 的 频 率 分 布 直 方 图 ， 其 中 样 本 数 据 分 组 区 间 为 [40 ， 50) ， [50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70，80)，[80，90)，[90，100]. (1)若该地区共有 2 300 家企业，试估计智能制造评分在[50，60)内的企业数量； (2)估计该地区企业的智能制造评分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表)； (3)以样本的频率估计概率，为提高企业智能制造的水平，监管部门随机从当地抽取 4 家企业了解情况，求这 4 家企业的智能制造评分在[60，70)内的企业数量 X 的数学期望． 考点四　概率与统计的综合应用——准确审题，数据分析 角度 1 概率与统计图表的交汇问题 [例 4]　[2021·合肥市模拟]某外卖平台对其产品进行调查，发现用户数量约 2.5 亿， 合作商户超过 200 万家，活跃骑手超过 50 万名，日完成订单超过 1 800 万．抽样调查数 据显示用户年龄分布如图．从所有用户中随机抽取 100 名对其一周内点外卖次数进行统计， 得到数据如表： 2 次及以下 3～5 次 6～8 次 8 次以上 男 2 30 15 5 女 3 22 20 3 (1)根据上表，从一周点外卖“8 次以上”的 8 名用户中随机抽取 3 名，求男性用户数量 X 的分布列及其期望； (2)从所有用户中随机抽取 n 名用户，满足“至少一名用户年龄为 30 岁以上”的概率超过 1 2 ，若用样本频率估计总体概率，求 n 的最小值． (参考数据：lg 2∈(0.301，0.302)，lg 3∈(0.477，0.478)) [考查知识]　离散型随机变量的分布列和期望，对立事件的概率计算公式． [核心素养]　数学建模和数学运算． 归纳总结 破解频率分布直方图与概率相交汇问题的步骤 角度 2 概率与统计案例的交汇问题 [例 5]　[2021·长春市高三质量检测]近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇， 特别在疫情期间，电子商务更被群众广泛认可，2020 年双 11 期间，某平台的销售业绩高 达 3 568 亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务评价体系．现 从评价系统中选出 200 次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6，对 服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都作出好评的交易为 80 次． (1)是否可以在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？ (2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 5 次购物中，设对商品和服务全好 评的次数为随机变量 X. ① 求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列(概率用组合数算式表示)； ② 求 X 的数学期望和方差． P(K2 ≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 n ( ad−bc )2 (K ＝ ，其中 n＝a＋b＋c＋d) ( a+b )( c +d ) ( a+ c ) ( b+ d ) 2 [考查知识]　独立性检验、离散型随机变量的分布列及数学期望和方差． [核心素养]　数据分析． 归纳总结 解决概率、统计与其他知识的综合 角度 3 概率、统计与数列的交汇 [例 6]　第 24 届冬奥会将于 2022 年在中国北京和张家口举行，届时，北京将成为第 一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市． 在某次滑雪表演比赛中，抽取部分参赛队员的分数(得分取正整数，满分为 100 分)作为样 本(样本容量为 n)进行统计，并按照[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100](已知分 数在[90，100]内的人数为 3)的分组作出如图所示的频率分布直方图． 据此解答如下问题： (1)求样本容量 n 及频率分布直方图中 a 的值． (2)滑雪场馆内的一销售网点为了吸引游客，增加营业收入，开展“参加游戏赢奖券”促 销活动，购物满 200 元可以参加 1 次游戏，游戏规则如下：有一张共 7 格的方格图，依次 编号为第 1 格、第 2 格、第 3 格、…、第 7 格，游戏开始时