《排列》教学设计 课程基本信 息 学科 高中数学 课题 年级 高二 学期 下学期 6.2.1 排列 教科书 书 名：人教 2019 版高中数学选择性必修第三册 出版社：人民教育出版社 教学内容分 析 本节课是人教 2019 版 A 版《高中数学选择性必修第三册》第六章第二节的第一节课，排 列是一类特殊而重要的计数问题，教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务，通过具 体实例概括而得出排列的概念，对于排列，有两个想法贯穿始终，一是根据一类问题的特点 和规律寻找简便的计数方法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原 理思考和解决问题。 本节课具有承上启下的地位，理解排列的概念是推导排列数公式的前提，分步乘法计数 原理又为排列的简单计算提供了基础。基于学生的认知规律，本节课只是对排列概念的初步 认识，在后面知识的学习过程中，逐步加深理解和灵活运用。 本节课的教学重点是排列的概念、利用分步乘法计数原理计算简单的排列问题。教学难 点是排列的概念，排列的概念有一定的抽象性，本节课结合教科书的编排，采取了由特殊到 一般的归纳思想来建构概念的理解过程，通过引导学生分析三个典型事例，从中归纳出共同 特征，再进一步概括出本质特征，抽象出排列的定义，再通过对比两个不是排列但看起来像 排列的问题，进一步加深学生对于概念的理解，帮助学生归纳出排列的两个关键要素：元素 是互异的并且元素是按照一定的顺序排列的，随后通过提问题、课件等方式多次强调。 学情分析 学生对两个计数原理已很好的掌握，但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考， 学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力，有着大量的生活中诸如设置 密码、车牌号、排队、参加活动、接力赛...与计数问题有关的经验，对数学中归纳化归、有 特殊到一般的思想方法比较敏感，但抽象概括的能力较弱，排列概念的得到，要独立将颜色、 人、数字抽象为元素，对着色的方案抽象出顺序有一定的困难，需在独立思考加协作讨论的 基础上再由老师引导突破教学难点。 教学目标 知识目标： 1.通过几个具体实例归纳概括出排列的概念，并能运用排列的判断具体的的计数问题是否为 排列问题，学生学习后能够对排列或非排列问题作出准确的判断。 2.在教学过程中，通过排列的概念的得到培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力，以及解 决与计数有关的问题时主动联系排列相关知识的能力，体会排列知识在实际生活中的应用， 增强学生学习数学的兴趣。 3.让学生学会通过对各种事情现象、本质的分析，得出一般的规律，通过地图里面的着色问题、回 文诗等体会丰富的数学文化. 学科素养： 1. 数学抽象：在排列概念的形成过程中由问题 1 的颜色问题、问题 2 的朗诵员排列问题、 问题 3 的数字问题逐步将研究对象抽象化，最后由学生归纳更为抽象的元素（小写字母）形式， 培养学生的数学抽象素养； 2. 逻辑推理：通过不同的方法（列举法、树状图法）分析排列问题所有可能的结果； 3. 数学运算：能用分步乘法计数原理进行简单排列问题的计算。 教学策略 在本节课的教学过程中将数学文化和数学知识、实际生活有机的融合，让抽象的数学概 念形成的过程丰富多元，避免单调枯燥。 针对学生的认知水平，为培养学生抽象概括的能力， 本 节课采取导学案和 PPT 加卡片道具相结合的方式组织教学，为让学生充分体验概念形成的过程， 利用卡片道具增强学生的学习兴趣并动手实践加深学生对于问题的理解，通过三个例 子的探究高 度抽象概括出排列的定义。 本节课排列定义的得出比较抽象，需要引导学生逐一抽象概括寻找共同点，教学过程采 取学生独立思考、相互讨论、老师以问题串引导的方式突破难点，紧接着通过对比加深对概 念的理解，对于概念理解不够深刻的同学也通过同学的辨析对概念有了深刻的认识。 在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、归纳、思考、探索、 交流、反思参与学习，认识和理解数学知识、学会学习，发展能力。 教学过程 一、情境引入 视频片段，复习回顾：播放《拆弹专家 2》中经典的破解密码锁片段：密码开关由 四个原件构成，每个元件要五选一，也就是有 625 种可能。这时提问学生 625 是怎么得来的？ 学生回答，开密码锁可以分为 4 个步骤，每一步骤都需要从五个元件中选一个，每一个步骤都 有 5 个选择，总共四个步骤就是 5 的四次方 625 种不同的可能性。教师进行总结，其实 625 的 得来运用了我们之前所学的分步乘法计数原理。 【设计意图】密码解锁是生活当中非常常见的一种现象，现在的电子密码门、手机解 锁等都涉及了到密码解锁，它是分步乘法计数原理在生活当中的实际运用，而视频片段拆弹 专家在解锁的时候明晰地体现出分步乘法计数原理的特点即分 4 个步骤去完成拆弹“这件事”。 通过视频的方式给学生呈现首先调动学生的学习积极性，其次通过视频当中的简单计算引发 学生对于分步乘法计数原理的回忆，为后面排列的计算做好铺垫。 二、概念探究 （一）问题探究，研究共性： 问题 1：宣城市与黄山市在地图上相邻，为了区分两者的地界，在红黄蓝三种颜料中 取两种颜料，一种涂在黄山市地图上，一种涂在宣城市地图上，一共有多少种方法？。 教师让一位同学上黑板演示结果，其他同学通过事先准备好的小卡片罗列所有的结果。 学生罗列好所有情况后，师生共同评析：完成涂色只需要分两个步骤，第一步先给黄山市涂色， 有三 种颜色可供选择，第二步给宣城市涂色这里还剩两种颜色选择，先列出树状图进行分析， 其次运用 分步乘法计数原理得出结果 6。 【设计意图】我们学习排列，应当从最具体的例子通过不断地抽象从而归纳出概念。 着色问题是排列的一个非常具体的运用，且以宣城市和黄山市相邻作为背景，容易调动学生 的学习热情，让学生了解颜色区分地图的背后，蕴涵了丰富的数学知识和文化，既为抽象概 括排列定义，也为课后探究的着色问题埋下伏笔。 问题 2：某校庆祝建党百年朗诵活动中，A、B、C 三位朗诵员站成一排面向观众，一 共 有多少种不同的站法？ 先播放一则视频，建党 100 周年庆典 4 位青少年代表集体献词《请党放心，强国有我》。 教师通过言语引导学生观察台上四位青少年代表的站位，并提出问题站位只能有一种么？然 后引出问题 2，为了更直观的呈现出所有不同的结果，教师请三位同学上讲台充当“朗诵员” 现 场示范结果，三位同学一共完成了 6 种不同的站位情况，教师提问还有其他的站位方式么， 学生 回答没有了。师生共同评析：完成站位这件事需要有三个步骤，第一步选出最左边站的“朗诵员”，有 三种情况，其次选出中间的“朗诵员”，再选出最右边的“朗诵员”，通过由树状图分析再到分步乘法计数原 理得出答案 6 种情况和三位同学现场演示的结果一致。 【设计意图】三位同学现场演示激发学生对问题本身感兴趣的同时，能深入挖掘问题 的本质属性，也为后面全排列概念的顺理成章的得出及后面将会学习的有条件的排队作好铺 垫！ 问题 3：从 1、2、3、4 这四个数字中，取出 3 个不同的数字排成一个三位数，一共可 以得到多少个不同的三位数？ 教师先引导学生思考完成这件事一共需要三个步骤，先取出百位数，再取十位数，最 后取个位数，教师先黑板演示百位数取 1 时的所有结果，其次让三位同学上黑板完成剩下的 三个百位数所有的情况。之后教师白板演示所有取到数的结果共 24 个，并用分步乘法计数原理 计算得到 N=4×3×2=24。 【设计意图】第三个排数问题来自教材，问题 1 到问题 2 再到问题 3 是一个逐步抽象 的过程，从颜色到具体的人再到数字，为后面更抽象的元素 a,b,c...做好铺垫。问题 1 到问题 2 再 到问题 3 也是一个难度逐步加大情况逐步复杂的过程，由三选二到三选三（全排列）再到四选 三，层层递进符合学生的认知水平，让学生黑板演示以及卡片道具的使用锻炼学生准确列举 所有情况的能力，最终用分步乘法计数原理计算结果与复习引入相呼应。 （二）抽象概括，形成概念： 探究 1：以上这三个问题有何共同特征？ 教师引导学生首先从计算方法上找到共同点以上三个问题都可以用分步乘法计数原理 计算，其次在从三个问题的文字表述上找共同点，这时白板演示对关键字眼画横线标注如： 问题 1 的“三个颜色”、“取两个颜色”“涂在不同的地图上”，问题 2 的“三位朗诵者”“按顺序站 成一排”这里教师引导学生该题实际上就是三位朗诵者中取三位按顺序排在一排，问题 3 中的 “4 个数字”“取 3 个”“组成一个三位数”，学生回答以上三个问题都是从一些对象中取出部分对 象按照顺序排在一起，这时教师引导学生将颜色，朗诵者及数字都可以抽象成元素 a,b,c，元 素 排列的顺序不同结果就不一样，实际上三道题目的共同特征就是从一些不同元素中，取出部 分元素，再按照顺序排成一列。 排列：从 n 个不同元素中取出 m（m  n）个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列（Arrangement）。 全排列：特别地，当 m=n 时，该排列叫做 n 个元素的全排列。 相同排列：两个排列相同的充要条件是：两个排列元素完全相同，且元素的排列顺 序也相同。 引导学生对排列定义的再理解，让学生归纳出值得注意的关键词： （1）n 个不同的元素；（2）取出 m（m≤n）个元素 ；(3)一定的顺序。 （三）对比研究，把握要素： 问题 4：从含有两张数字 1，一张数字 2 的三张卡片中任取两张左右摆放在一起，有多 少种不同的结果？。 教师让一位同学上黑板利用卡片罗列所有情况，师生共同评析∶该题首先用树状图分 析，取卡片“这件事”分两个步骤完成，第一次可以取到 1，1，2 中的一种第二次再在原来的 基础上从剩下的两张卡片中取，罗列所有的结果是 11,12,11,12,21,21.这时教师引导学生观察发 现结果中出现的两个 11 两个 12 两个 21 是相同的排列，所以所有的结果就是三种 11,12,21， 本 题答案为 3。此时学生可能会略有疑问，之前问题 1 也是三个元素取两个但结果是 6，教师让同 学先保持自己的想法，在最后归纳总结。 问题 5：从 1、3、6 中任取两数相加，所得的和有几种结果？ 学生上黑板作答，教师用幻灯片展示解题过程：树状图列出的所有结果是 13,16,31,36， 16,61 计算结果一共是 4,7,9 三种，两题都是三选二但计算结果都不是 6，为下文的探究 2 做铺 垫。 【设计意图】排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序 排列”，学生刚接触概念往往会注意不到这两点基本内容，其次对这两点基本内容理解不清晰。而 对比研究就可以更好的帮助学生对概念的理解。问题 4 不符合排列概念中 n 个