第四章指数函数和对数函数单元检测 (满分:150 分;时间:120 分钟) 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的)　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.函数 f(x)= ln ( x+1 ) 的定义域是 x -2 (　　) A.(-1,+∞) B.(-1,2)∪(2,+∞) C.(-1,2) D.[-1,2)∪(2,+∞) 2.已知 a=20.2,b=20.3,c=0.20.3,则 (　　) A.b>a>c B.a>b>c C.b>c>a D.a>c>b 3.由表格中的数据,可以判断方程 ex-3x-2=0 的一个根所在的区间是(　　) x 0 1 2 3 4 ex 1 2.72 7.39 20.09 54.60 3x+2 2 5 8 11 14 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 4.某种药物的含量在病人血液中以每小时 20%的比例递减.现医生为某病人注射了 2 000 mg 该药物,那么 x 小时后病人血液中这种药物的含量为 (　　) A.2 000(1-0.2x) mg B.2 000·0.8x mg C.2 000(1-0.2x) mg D.2 000·0.2x mg 3 5.已知关于 x 的方程 x2-(2m-8)x+m2-16=0 的两个实数根 x1,x2 满足 x1< 2 <x2,则实数 m 的取值范围为 (　　) A.m<4 1 B.- 2 <m<4 7 C. 2 <m<4 2 x+1 x3 6.函数 y= 的图象大致为 4 x +1 , {- lnln(-xx, x>0 ), x <0 , 7.已知函数 f(x)= A.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,-e)∪(0,e) 8.若函数 f(x)= 1 7 D.- 2 <m< 2 (　　) 若 f(m)+2f(-m)>0,则实数 m 的取值范围为 (　　) B.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(0,1) {( x a , x ≥1 , a 4 - x +2 , x <1 , 且满足对任意的实数 x1,x2(x1≠x2),都有 2 ) f ( x 1 )- f ( x 2 ) >0 x1 - x2 成立,则实数 a 的取值范围是　 (　　) A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8) 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错 的得 0 分) (　　) 9.若 0<m<n<1,则 A.log4m<log4n C.logm3<logn3 B.3n<3m D. 1 4 m () > 1 4 n () 10.设函数 f(x)=2x,对于任意的 x1,x2(x1≠x2),下列式子成立的是(　　) A. f(x1+x2)=f(x1)·f(x2) B. f(x1·x2)=f(x1)+f(x2) C. D. f f ( x 1 )- f ( x 2 ) >0 x1 - x2 ( x +2 x ) < 1 2 f ( x 1 ) +f ( x 2 ) 2 11.设函数 y=ln(x2-x+1),则下列命题中正确的是 (　　) A.函数的定义域为 R B.函数是增函数 C.函数的值域为 R 1 D.函数的图象关于直线 x= 2 对称 12.已知函数 f(x)的定义域为 D,若对任意 x∈D,都存在 y∈D,使得 f(y)=-f(x)成立,则称函数 f(x)为“M 函数”.下列所给出的函数中是“M 函数”的有 (　　) 1 B.y= x A.y=x2 C.y=2x-1 D.y=ln(x+1) 三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中横线上) 13.log2 √3 3 ×log32=　　　　. 14.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是 θ1 ℃,空气的温度是 θ0 ℃,t min 后物体 的温度 θ(℃)可由公式 θ=θ0+(θ1-θ0)e-0.24t 求得.把温度是 100 ℃的物体,放在 10 ℃的空气中 冷却 t min 后,物体的温度是 40 ℃,那么 t 的值约等于　　　　.(保留两位小数,参考数据:ln 3≈1.099) 15.已知 x,y∈R,在实数集 R 中定义一种运算 x�y=xy+x+y-1,则 2 f(x)=2x 4=　　　　,函数 4 x 的最小值为　　　　.(本小题第一空 2 分,第二空 3 分) 2 a 16.已知函数 f(x)=x2-2x+loga x - 1 在 (1 , 32 ) 内恒小于零,则实数 a 的取值范围是　　　　. 四、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=log2( √ x2 +a ❑ +x) (a∈R)满足 f(x)+f(-x)=0. (1)求 a 的值; (2)若函数 g(x)=2f(-x)+1- √ x2 +1 ❑ 5 ,证明:g(x2-x)≤ 4 . 18.(本小题满分 12 分)计算下列各式的值. 3 (1) ( √ 2× ❑√ 3 ) 6 +(-2 020) -4× 0 (2)log23×log34×log45×log254. 16 49 ( ) - 1 2 + √4 ( 3 - π )4 ; 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=a 1 2 |x | () +b 的图象过原点,且无限接近直线 y=1 但又 不与该直线相交. (1)求该函数的解析式,并判断该函数的奇偶性; (2)若不等式 m·[1-f(x)]> 1 4 x () +1 对任意的 x∈[-2,2]恒成立,求 m 的取值范围. 20.(本小题满分 12 分)某食品厂对蘑菇进行深加工,每千克蘑菇的成本为 20 元,并且每千克蘑菇 的加工费为 t 元(t 为常数,且 2≤t≤5),设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为 x 元(25≤x≤40),根据 市场调查,日销售量 q(单位:千克)与 ex 成反比,每千克蘑菇的出厂价为 30 元时,日销售量为 100 千克. (1)求该工厂的日销售利润 y(单位:元)关于每千克蘑菇的出厂价 x(单位:元)的函数关系式; (2)若 t=5,当每千克蘑菇的出厂价 x 为多少元时,该工厂的日销售利润 y 为 100e4 元? 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x2-2ax+9. (1)当 a≤0 时,设 g(x)=f(2x),证明:函数 g(x)在 R 上单调递增; (2)若∀x∈[1,2], f(2x)≤0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若函数 f(x)在(-3,9)上有两个零点,求实数 a 的取值范围. 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x2+(m-2)x-m,g(x)= f (x) ,且函数 y=f(x-2)是偶函 x 数. (1)求 g(x)的解析式; (2)若不等式 g(ln x)-nln x≥0 在 [ ) 1 ,1 2 e 上恒成立,求 n 的取值范围; 2 (3)若函数 y=g(log2(x2+4))+k· lo g ( x2 + 4 ) -9 恰好有三个零点,求 k 的值及该函数的零点. 2 参考答案 一、单项选择题 1.B　由题意得 , {xx+1>0 - 2≠ 0 , 所以 x>-1 且 x≠2,即 f(x)的定义域为(-1,2)∪(2,+∞),故选 B. 2.A　c=0.20.3<1<a=20.2<b=20.3,∴b>a>c.故选 A. 3.C　设 f(x)=ex-3x-2,由题表知, f(0)、 f(1)、 f(2)均为负值,f(3)、 f(4)均为正值,且 f(x)的图 象是一条连续不断的曲线,因此方程 ex-3x-2=0 的一个根所在的区间为(2,3),故选 C. 4.B　由题意知,该种药物的含量在病人血液中以每小时 20%的比例递减,给某病人注射了 2 000 mg 该药物,x 个小时后病人血液中这种药物的含量为 y=2 000· (1-20%)x=2 000·0.8x (mg),故选 B. 5.D　设 f(x)=x2-(2m-8)x+m2-16,由题意可得, f 3 2 () <0,即 3 2 2 () 3 -(2m-8)× 2 +m2- 1 7 16<0,即 4m2-12m-7<0,解得- 2 <m< 2 .故选 D. 2 x+1 x3 6.B　易得函数 y= 为奇函数,选项 C 错误;当 x>0 时,y>0,选项 D 错误;当 x=4 时,y= 4 x +1 11 11 2 2 ≈ 8 =8,选项 A 错误,故选 B. 8 2 +1 2 7.D　当 m>0 时,-m<0,所以 f(m)+2f(-m)=ln m-2ln m>0, 即-ln m>0,解得 0<m<1. 当 m<0 时,-m>0,所以 f(m)+2f(-m)=-ln(-m)+2ln(-m)>0,即 ln(-m)>0,解得 m<-1. 综上,实数 m 的取值范围为(-∞,-1)∪(0,1),故选 D. 8.D　∵对任意的实数 x1,x2(x1≠x2),都有 {( ∴函数 f(x)= f ( x 1 )- f ( x 2 ) >0 成立, x1 - x2 { a>1 , a 4 - >0, 2 解得 a∈[4,8),故选 D. a 1 a ≥ 4 - ×1+2 , 2 x a , x ≥1 , a 4 - x +2 , x <1 在 R 上单调递增,∴ 2 ) ( ) 二、多项选择题 9.AD　因为 y=log4x 在(0,+∞)上单调递增,且 0<m<n<1,所以 log4m<log4n,故 A 正确;因 1 1 为 y=3x 在 R 上单调递增,且 0<m<n<1,所以 3n>3m,故 B 错;取 m= 4 ,n= 2 ,知 logm3>logn3,故 C 错;由指数函数的性质可知 D 正确.故选 AD. x +x x x x +x 10.ACD　f(x1+x2)= 2 , f(x1)·f(x2)= 2 · 2 = 2 =f(x1+x2),所以 A 成立; 1 2 1 x ·x x x x f(x1·x2)= 2 , f(x1)+f(x2)= 2