高三数学选填专题练习（11） 基础巩固（1） 难度评估：偏易 测试时间：25 分钟 一、单选题(共 60 分) 1 � � 1 M � 2, 1, 0, , 2,3� �A 2 � 1．(本题 5 分)若 x �A ，则 x ，就称 A 是伙伴集合．其中 的所有非 空子集中具有伙伴关系的集合个数是（ ） B． 3 A． 1 2．(本题 5 分)下列命题为真命题的是（ ） A． 1  0 且 3  4 C． x �R ， B． 1  2 或 4  5 cos x  1 3．(本题 5 分)如图，在圆锥 D． PO 的轴截面 PAB 的值为（ ） x �R 中， （球面与圆锥的侧面、底面都相切），设小球 V1 : V D． 31 C． 7 O1 ， x 2 �0 O1 �APB  60� ，有一小球 内切于圆锥 的体积为 V1 ，圆锥 PO 的体积为 V ，则 A． 1 3 B． 4 9 C． 5 9 D． 2 3 r r r r r a  b  a a  1, 2 b  3,1     4．(本题 5 分)已知向量 ， ，若 ，则实数   （ ）  A．1 B． x2 3 5  C．0 D．3 y2 5．(本题 5 分)双曲线 a 2  b2  1(a  0, b  0) 的两个焦点为 F1、F2 ，若 P 为其上一点，且 PF1  3 PF2 A． (1, 2) ，则双曲线离心率的取值范围为（ B． (1, 2] C． (3, �) 6．(本题 5 分)执行如图的程序框图，那么输出 A．2 B． ） D． [3, �) 的值是 C．-1 D．1 7．(本题 5 分)某电影票单价 30 元，相关优惠政策如下：①团购 10 张票，享受 9 折优惠： ②团购 30 张票，享受 8 折优惠；③购票总额每满 500 元减 80 元．每张电影票只能享受一 种优惠政策，现需要购买 48 张电影票，合理设计购票方案，费用最少为（ A．1180 元 B．1230 元 C．1250 元 ） D．1152 元 8．(本题 5 分)已知复数 z 满足 A．1  2i  1  2i  z  5 ，则 z  （ B．1  2i 9．(本题 5 分)已知函数 C． 2  i 的图象在 ，且当 A． ） 时，其图象经过 B．5 D． 2  i 处的切线斜率为 ，则 C．6 D．7 2 a  2b  c 10．(本题 5 分)在△ABC 中，A＝60°，b＝2，其面积为 2 3 ，则 2sinA  sinB  sinC 等于（ ） A．4 B． 8 3 8 3 C． 3 4 3 D． 3 an 11．(本题 5 分)已知数列  an  满足 a1  18 ， an 1  an  2n ，则 n 的最小值为（ A． 29 4 B． 6 2 1 C． 15 2 D． ） 38 5 12．(本题 5 分)古希腊数学家希波克拉底研究过这样一个几何图形（如图）：分别以等腰 直角三角形 ABC 的三边为直径作半圆，则在整个图形内任意取一点，该点落在阴影部分的 概率为 A．  2  B．  2  2 C． 2  2 D．   2 二、填空题(共 20 分) 13．(本题 5 分)有一个倒圆锥形的容器，其底面半径是 5 厘米，高是 10 厘米，容器内放着 49 个半径为 1 厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部拿出来，则此时容器内 水面的高度为________厘米. 14．(本题 5 分)对于正项数列 ，定义 “给力”值，现知数列 的“给力”值为 H n  为 1 ，则数列 n 的 的通项公式为 an =___ ___________． 15．(本题 5 分)设向量 r a   a1 , a2  ， r b   b1 , b2  ，定义一种向量运算 r r a �b   a1b1 , a2b2  ，已知 ur � 1 � r � � m� 2, � n  � , 0 � P x �, y �  在 y  sin x 的图象上运动，点 Q  x, y  是函数 � 2 �， �3 �，  向量 y  f  x 图象上的动点，且满足 uuur ur uuu r r OQ  m �OP  n （其中 O 为坐标原点），则函数 y  f  x 的值域是__________. x2 y2    1 a  0, b  0  16．(本题 5 分)已知双曲线 a 2 b 2 ，过原点作一条倾斜角为 6 直线分别交双 曲线左、右两支 P ， Q 两点，以线段 PQ 为直径的圆过右焦点 F ，则双曲线离心率为_____ _. 参考答案 1．B 【分析】 根据伙伴集合的定义利用列举法即可求出结果. 【详解】 1 若 x �A ，则 �A ，就称 是伙伴集合， x A Q 1 � � QM � 2, 1,0, , 2,3� 2 � ， 1 1� � � � 1� � M  � 2, 1,0, , 2,3� 2, � 1, 2, � � �  1 2 2 ． � 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合有 � 2 ，   ， � 1 � � M  � 2, 1,0, , 2,3� 2 � 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数是 3． 故选：B. 2．D 【分析】 本题可通过 43 、 1 2 、 4 <5 、 cos x �1 、 x 2 �0 得出结果. 【详解】 A 项：因为 4  3 ，所以 1  0 且 3  4 是假命题，A 错误； B 项：根据1  2 、 4 < 5 易知 B 错误； C 项：由余弦函数性质易知 cos x �1 ，C 错误； D 项： x2 0 恒大于等于 ，D 正确， 故选：D. 3．B 【分析】 r 3R  r  O 采用数形结合，假设小球 1 的半径为 r ，圆 O 的半径为 R ，然后计算 R 2 R ，可得 R  3r ，然后根据体积公式简单计算，可得结果. 【详解】 如图 设小球 由 O1 r 的半径为 ，圆 △△ POB : O 的半径为 R PMO1 PO1 O1M  OB 所以 PB 由 OP  R tan �OBP  R tan 60o  3R �APB  60� ，所以 PB  OB  2R �APB sin 2 r 3R  r  所以 R 2 R ，则 R  3r 所以 所以 V1  4 r 3 1 3 R3 ,V  �  R 2 �3R   3 r 3 3 3 3 V1 4  ， V 9 故选：B. 4．A 【分析】 r r r r r r r r  a b � a 0  a  b  a 可求出  a  b     3, 2  1 ，然后根据 可得出 ，进行数量积的  坐标运算即可求出  的值.    【详解】 r r r r r r a  b  a a  1, 2  a  b    3, 2   1     ∵ ， ，且 ，   r r r a  0    3  2  2  1  0 ∴ a  b � ，解得   1 .   故选：A. 5．B 【分析】 根据题中条件，由双曲线的定义，得到 PF2  a ， PF1  3a PF1  PF2 �F1 F2 ，根据 ，即可 求出结果. 【详解】 因为点 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得 又 PF1  3 PF2 ，所以 2 PF2  2a P ，即 因为点 在双曲线的右支上，所以 即 4a �2c ，则 PF2  a PF1  PF2  2a ，则 PF1  PF2 �F1 F2 PF1  3a ， ， ， c �2 ，即 ， e �2 a 又双曲线的离心率大于1 ，所以 1  e �2 . 故选：B. 6．B 【详解】 试题分析：本题算法主要考查循环结构，由算法知，记第 ， ， ， 次计算结果为 ，则有 ，因此 是周期数列，周期为 3，输出结果为 ，故选：B． 7．A 【分析】 计算第③种方案的优惠折扣，可得先以第②种方案购票 30 张，再以第③种方案购买18 张可 得答案. 【详解】 由第③种方案可知， 500 �30 �16.7 ， 17 �30  510 ， 510  80  430 ， 430 �510 �0.84 ，则第③种方案约为 84 折，所以先以第②种方案购票 30 张： 30 �30 �0.8  720 (元)，再以第③种方案购买余下的 18 张： 18 �30  80  460 (元)， 所以共需要 720  460  1180 (元). 故选：A. 8．A 【分析】 根据复数的除法法则计算. 【详解】 5(1  2i) 5 由题意 z  1  2i  (1  2i)(1  2i)  5(1  2i)  1  2i . 5 故选：A. 9．B 【详解】 试题分析： ，由导数的几何意义得 ， ， ，故数列 此 ，即 是等差数列，公差 ，当 ， 时，图象过点 ，因 ， 故选：B. 10．C 【分析】 sin B,sin C c a 由已知和面积公式求出 ，再由余弦定理求出 ，进而求出 ，即可求出结论. 【详解】 1 3 SABC  bc sin A  c  2 3, c  4 2 2 ， 由余弦定理得 a  2 3,  a 2  b 2  c 2  2bc cos 60o  20  8  12 ， a b 1 c  4, sin B   ,sin C   1 ， sin A 4 2 4 2a  2b  c 2 �2 3  2 �2  4 4( 3  2) 8 3    2sinA  sinB  sinC 3 3 1 3 . 2�  1 ( 3  2)