浙江省台州市“十校联盟”2021-2022 学年高二上学期期中考试数学试题 一 选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。 1. 在空间直角坐标系 0 - xyz 中, 点 P(1,2,3) 关于原点对称的点的坐标是( A. (1,2,3) B. (−1,2,3) C. (1,− 2,3) D. (−1, −2, −3) ) 2. 已知直线 l 经过点 A (− 2,3) , 且它的倾斜角等于直线 y=x 的倾斜角的 2 倍, 则直 线 l 方程为( ) A. y=2 x+7 B. y=− 2 x −1 C. x=−2 D. y=3 3. 直线 x − ❑√ 3 y +m=0 与圆 x 2+ y 2 =1 有两个不同的交点, 则实数 m 的取值范围是 ( ) A. −2 ≤ m≤ 2 B. −2<m<2 C. m<−2 4. 已知空间向量 ) A. π 6 B. m>2 或 D. m≤ −2 或 ⃗ ,且 ⃗a =(1,0,1) , b=(1,1,n) π 3 C. 2π 3 D. m≥ 2 ⃗a ∙ ⃗b=− 3 , 则向量 ⃗a 与 ⃗b 的夹角为 ( 5π 6 5. 直线 l 1 :(a −1) x + y +1=0,l 2 : 4 x +(a+2) y −1=0 , 则“ a=2 ”是 “ l 1 /¿ l 2 ” 的 ( ) 条件 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在四面体 OABC 中, M 、 N 分别是 OA , BC 的中点, P 是 MN 的三等分点 (靠近点 N ), 若 ⃗ OA=⃗a , ⃗ OB= ⃗b , ⃗ OC =⃗c , , 则 ⃗ OP=¿ ( ) A. C. 1 1⃗ 1 a⃗ + b + c⃗ 6 3 3 1 1 1 ⃗a + b⃗ + ⃗c 2 6 3 1 1 1 ⃗a + ⃗b + c⃗ 3 6 6 1 1 1 a⃗ + b⃗ + ⃗c D. 6 2 3 B. x2 y 2 + =1(a>b> 0) 的一条弦所在的直线方程是 2 x + y −9=0 , 弦的中 a2 b 2 点坐标是 M (4,1) , 则椭圆 C 的离心率是( ) ❑ ❑ 1 √ 2 C. ❑√ 3 √3 A. B. D. 2 2 3 2 8. 已知 ∠ ACB=60 ∘ , P 为平面 ABC 外一点, PC=2 , 点 P 到 ∠ ACB 两边 7. 已知椭圆 C: AC , BC A. 1 B. 的距离均为 ❑ √2 C. ❑ √3 , 那么点 P 到平面 ABC 的距离为 ( ) 2 ❑√ 3 3 D. 2 ❑√ 6 3 二 多项选择题:（本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得 3 分。) 9. 下列关于空间向量的命题中, 正确的有 ( ) ⃗ ; A. 若向量 ⃗a , ⃗b 与空间任意向量都不能构成基底，则 ⃗a /¿ b ⃗ ⃗ ⃗ B. 若非零向量 ⃗a , b , ⃗c 满足 ⃗a ⊥ b , b ⊥ c⃗ , 则有 ⃗a ⊥ ⃗c 1 1 1 OD= ⃗ OA + ⃗ OB+ ⃗ OC , 则 C. 若 ⃗ OA , ⃗ OB , ⃗ OC 是空间的一组基底，且 ⃗ 3 A , B , C , D 四点共面; D.若向量 ⃗a , ⃗b , ⃗c 是空间的一组基底, 则 3 3 ⃗a + b⃗ , ⃗c − b⃗ , c⃗ + ⃗a 也是空间的一组基底. 10. 以下四个命题表述正确的有( ) A. 经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x+ y − 2=0 B. 直线 (3+m)x + y − 3 −m=0(m∈ R) 与圆 x 2+ y 2 =4 一定相交 C. 圆 x 2+ y 2 =4 上存在 2 个点到直线 l: x − y + ❑√ 2=0 的距离都等于 3 D. 曲线 C1 : x 2+ y 2 =4 与曲线 C2 : x 2+ y2 −6 x −8 y +m=0 恰有三条公切线, 则 m=16 11. 已知椭圆 C : x2 y 2 + =1 的左、右两个焦点分别为 F1 , F 2 , P 为椭圆上一动点, 9 8 M (1,1) , 则下列结论正确的有 ( ) △ P F1 F2 的周长为 8 B. △ P F1 F2 的最大面积为 2 ❑√ 2 PF 1 ⋅ ⃗ PF 2=0 C. 存在点 P 使得 ⃗ D. ¿ PM ∨+|P F 1| 的最大值为 5 12. 在正方体 ABCD − A 1 B1 C1 D 1 中, 点 P 在线段 B 1 C 上运动, 则下列结论正确的 A. 有() A. 直线 A C1 ⊥ 平面 A 1 DB C. 异面直线 AP 与 A 1 D 所成角的取值范围是 B. 三棱雉 P− A 1 DB 体积为定值 [ ] π π , 6 2 D. 直线 C1 P 与平面 A 1 C 1 D 所成角的正弦值的最大值为 三 填空题: 本大题共 4 小题, 共 20 分。 ❑ √6 3 13. 唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说: “白日登山望烽火, 黄昏饮马傍交河”, 诗中隐 含着一个有趣的数学问题---“将军饮马” 问题, 即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发, 先到 河边饮马后再回到军营, 怎样走才能使总路程最短? 在平面直角坐标系中, 设军营所在的位置为 B (−1,0) , 若将军从山脚下的点 O(0,0) 处出发, 河岸线所在直线方程为 x+ y=3 , 则 “将军饮马” 的最短总路程是( ) 14.已知直线 l: mx− y +1− 4 m=0(m ∈ R) 与圆 长 ¿ PQ∨¿ 的取值范围是( 2 y − 1¿ 2=25 2 C : x +¿ 交于两点 P ,Q , 则弦 ) x + y 2=1 的左、右焦点分别为 F1 , F 2 , 过点 A (2,0) 作椭圆的切线, 2 切点为 T , 若 M 为 x 轴上的点, 满足 ∠ ATM =∠ A F 1 T , 则点 M 的坐标为( 15. 如图, 椭圆 ) 16. 已知空间向量 ⃗a , ⃗b , ⃗c ,∨⃗a ∨¿∨⃗b∨¿1 , ¿ ⃗c ∨¿ 8 , 且 1 ⃗a ⋅ b⃗ = , ⃗a ⋅⃗c =4, b⃗ ⋅ ⃗c =5 . 2 则对任意的实数 λ1 , λ2 , ⃗c − ( λ1 ⃗a + λ 2 b⃗ ) 的最小值为( ) 四 解答题:（本题共 6 小题, 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)。 17. (本小题满分 10 分) 已知平面内两点 A (8, −6) , B (2,2) . ( I ) 求 AB 的中垂线方程; (II) 直线 l 平行于直线 AB , 且点 Q(2, −3) 到直线 l 的距离为 3 , 求直线 的方程 | | l 18. (本小题满分 12 分) 已知空间三点 A (0,2,3), B(−2,1,4),C (1, −2,1) . (I) 求 △ ABC 的面积; (II) 若向量 ⃗ CD /¿ ⃗ AB , 且 ¿ ⃗ CD 的坐标. CD∨¿ 2 ❑√ 6 , 求向量 ⃗ 19. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱椎 P− ABCD PA ⊥ 平面 ABCD , 底面 ABCD 是直角梯形, 其中 1 AD /¿ BC , AB ⊥ AD , AB= AD= BC=2, PA=4 , 点 E , Q 分别在棱 BC ,CP 2 1 2 BE= ⃗ BC , ⃗ CQ= ⃗ CP . 上, 且 ⃗ 4 3 (I) 求证: DE ⊥ 平面 PAC ; (II) 求直线 QE 与平面 PAC 所成角的正弦值. 中, 20. (本小题满分 12 分) 平面内, 动点 M 与两个定点 A (− 1,0), B (3,0) 的距离之比为 1 , 记动点 3 M 的 轨迹为曲线 C 。 (I) 求曲线 C 的方程; (II) 若直线 l: y =x+1 与曲线 C 交于 D , E 两点, 求线段 DE 的长。 21. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱柱 ABCD − A 1 B1 C 1 D1 中, 底面 ABCD 是等腰梯形, ∠ DAB=60∘ , AB=2 CD=2, M 是线段 AB 的中点. (I) 求证: Cl M //平面 A l AD D l ; ( II ) 若 C D1 垂直于平面 ABCD 且 C D 1=❑√ 3 , 求平面 C1 D 1 M 和平面 ABCD 所成的角的余弦值. x2 y2 + 2 =1(a> b>0) 2 a b 2 ❑√ 21 的直线与原点的距离为 7 22. 已知椭圆 的离心率 e= 1 , 过点 2 A (0, − b) ( I ) 求椭圆的方程; (II) 已知定点 E(− 1,0) , 若直线 y=kx+2 (k ≠ 0) 与椭圆交于 存在 k 的值, 使以 CD 为直径的圆过 E 点? 请说明理由. C、D 和 B (a , 0) 两点, 问: 是否