武功县 2021-2022 学年度第一学期质量调研 高二数学试题 考生注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时 间 120 分钟．请将答案填写在答题纸相对应的位置． 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．在 A． 中，下列等式中总能成立的是（ a sin A  b sin B 2．设 A． VABC B． b sin C  c sin A C． M  2a(a  2)  3, N  (a  1)(a  3), a �R M N B． 3．对于实数 M �N a、、 b c A．若 a  b ，则 ac  bc b C．若 a  b  0 ，则 a VABC A． 4 2 中，已知 B． 4 3 5．若等差数列 A． 2 6．已知 C． M N ab sin C  bc sin B ，则有（ D．  a b D．若 ， a  b, 1 1  a b ，则 a  0, b  0 B  60� C  75� C． 4 6 ， ，则 b 的值为（ 32 D． 3  an  满足 a2  a9  a6 ，则 S9 的值为（ B．0 ） 1 1  B．若 a  b  0 ，则 a b 2 a 8 ） M �N ，下列命题中是真命题的是（ 2 4．在 ） C．1 D．2 m、n �R  ，且 m  n  2 ，则 mn 有（ ） ） ） D． a sin C  c sin A A．最大值 1 B．最大值 2 C．最小值 1 1 2 3 D．最小值 2 n 7．已知数列 11011 ,1011 ,1011 ,L ,1011 , L ，使数列前 n 项的乘积不超过 105 的最大正整数 n 是（ A．9 B．10 8．等差数列 A． C．11  an  的前三项分别是 a  1 ， a  1 ， a  3 ，则该数列的通项公式为（ an  2n  3 B． 9．已知等差数列 A．100 D．12 an  2n  1 C． an  a  2n  3 D． an  a  2n  1  an  的前 10 项和为 30，前 30 项和为 210，则前 20 项和为（ B．120 C．390 ） ） D．540 10．已知等比数列的公比是 2，且前四项和为 1，则前八项和为（ ） A．15 B．17 C．19 D．21 1 1  11．设 a  0 ， b  0 ．若 3 是 3 与 3 的等比中项，则 a b 的最小值为（ a 1 A．8 B． 4 b C．1 D．4 �x  y  2 �0 � x �4 12．若实数 满足 � ，则 的最小值为（ �y �5 2 x y x、y � s2 � 4 1 A． 4 B．4 ） C．16 ） D．36 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．不等式 x  x 2  0 的解集是___________． 2 x  y  2 �0 � � x  y  1 �0 ，则 14．若 满足约束条件 � 的最大值为____________． �y  1 �0 x、y z  x 7y � a abc 2  15．已知 sin A ，则 sin A  sin B  sin C ________． 16．在数列  an  中， a1  1 ，且 a1 �a2 � L � an  n 2 (n �2) ，则 an  ________． ） 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）  17．（本小题满分 10 分）若函数 f ( x)  lg 8  2 x  x N ，求集合 M 、、 N M �N （2）求数列 a1 和公比 q  的定义域为 M ，函数 g ( x)  1 2 x  1 的定义域为 ． 18．（本小题满分 12 分）在等比数列 （1）求首项 2  an  中， a3  12 ， a4  8 ． ；  an  的前 8 项和 S8 ． a 19．（本小题满分 12 分）在锐角三角形 ABC 中， A  2 B ， a、、 b c 所对的角分别为 A、、 B C ，求 b 的 取值范围． 20．（本小题满分 12 分）在 VABC 中，内角 A、、 B C 所对边的边长分别是 a、、 b c ．已知 （1）若 VABC 的面积等于 （2）若 sin B  2sin A ，求 c  2, C   3． 3 ，求 a、b 的值； VABC 的面积． 21．（本小题满分 12 分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、 B 原料 2 吨； 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、 B 原料 3 吨．销售每吨甲产品可获得利润 5 万元、每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨、 B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得的最大 利润是多少？ 22．（本小题满分 12 分）设函数 f ( x)  x  a , x �[0, �) ． x 1 （1）当 a  2 时，求函数 f ( x ) 的最小值； （2）当 0  a  1 时，求函数 f ( x) 的最小值． 武功县 2021－2022 学年度第一学期质量调研 高二数学试题参考答案 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．D 2．B 3．D 4．C 5．B 6．A 7．B 8．C 9．A 10．B 11．D 12．C 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．{x|0<x<1} 14．1 15．2 16． 1(n  1) � � 2 � n �( n  1) 2 (n ≥ 2) � 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 解：由 8＋2x－x2>0，即 x2－2x－8<0， ∴（x－4）（x＋2）<0，∴－2<x<4． ∴M＝{x|－2<x<4}． 2 x3 由 1－ x  1 ≥0，得 x  1 ≥0， ∴x≥3 或 x<1．∴N＝{x|x<1 或 x≥3}． ∴M∩N＝{x|－2<x<1 或 3≤x<4}． 18．（本小题满分 12 分） q 解：（1） a4 8 2   a3 12 3 2 �2 � 12  a1 � � 2 a  a1q �3 �得 a1  27 又 3 即 2 q a  27 ， 3． 所以 1 a (1  q 8 ) S8  1  1 q （2） 2 27 �[1  ( )8 ] 3  256 6305 2 81   1 3 81 81 ． 19．（本小题满分 12 分） 解：在锐角三角形 ABC 中，A、B、C 均小于 90°， 即 �B  90� � 2 B  90� � � 180� 3B  90� � ∴30°<B<45°. a sin A sin 2 B   sin B ＝2cos B∈（ 2 ， 3 ）， 由正弦定理知： b sin B a 故 b 的取值范围是（ 2 ， 3 ）． 20．（本小题满分 12 分） 解：（1）由余弦定理得： a  b  ab  4 2 2 1 ab sin C  3 又因为△ABC 的面积等于 3 ，所以 2 得 ab=4 � a 2  b 2  ab =4 � ab =4 联立方程组得 � ，得 a  2, b  2 ； （2）由正弦定理将条件可化为 b=2a， � a 2  b 2  ab =4 2 3 4 3 � a b b = 2 a 3 ， 3 联立方程组得 � ，解得 所以△ABC 的面积 S 1 2 3 ab sin C  2 3 . 21．（本小题满分 12 分） 解：设该企业生产甲产品为 x 吨，乙产品为 y 吨，则该企业可获得利润为 z＝5x＋3y，且依题意有 �x ≥ 0 �y ≥ 0 � � 3x  y ≤ 13 3 x  y =13 � �x =3 � � � � 2 x  3 y ≤ 18 ，联立 � 2 x  3 y =18 ，解得 �y =4 � 由图可知，最优解为 A（3,4）． ∴z 的最大值为 z＝5×3＋3×4＝27（万元）． 即该企业可获得的最大利润为 27 万元． 22．（本小题满分 12 分） a 解:（1）把 a＝2 代入 f（x）＝x＋ x  1 ， 2 2 得 f（x）＝x＋ x  1 ＝（x＋1）＋ x  1 －1 2 2 ∵x∈[0，＋∞），∴x＋1>0， x  1 >0，∴x＋1＋ x  1 ≥2 2 . 2 当且仅当 x＋1＝ x  1 ，即 x＝ 2 －1 时，f（x）取最小值． 此时，f（x）min＝2 2 －1. a a （2）当 0<a<1 时，f（x）＝x＋1＋ x  1 －1，若 x＋1＋ x  1 ≥2 a ， a 则当且仅当 x＋1＝ x  1 时取等号，此时 x＝ a －1<0（不合题意）， 因此，上式等号取不到． 设 x1>x2≥0，则 a a x  1 －x － x2  1 f（x ）－f（x ）＝x ＋ 1 1 2 1 2 � � a 1 � � ( x1  1)( x2  1) � ＝（x1－x2） � . ∵x1>x2≥0，∴x1－x2>0，x1＋1>1，x2＋1≥1. ∴（x1＋1）（x2＋1）>1.而 0<a<1， a ( x  1)( x2  1) <1，∴f（x ）－f（x ）>0. ∴0< 1 1 2 ∴f（x）在[0，＋∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（0）＝a.