第 3 章 函数的概念与性质知识清单 一、函数的概念 1．函数与映射的相关概念 (1)函数与映射的概念 函数 两个集合 A、B 对应关系 名称 映射 设 A、B 是两个非空数集 设 A、B 是两个非空集合 按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 按某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有 一确定的数 f(x)和它对应 唯一确定的元素 y 与之对应 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映 函数 射 记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B 注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任 意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点． (2)函数的定义域、值域 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值 叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (3)构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. (4)函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 二、函数的三要素 1．函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为 R. (4)y＝x0 的定义域是{x|x≠0}. 2．函数的解析式 (1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是 y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形 式. (2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式， 不注明定义域往往导致错误. 3．函数的值域 函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域： (1)一次函数 y＝kx＋b(k 为常数且 k≠0)的值域为 R. (2)反比例函数 y k x (k 为常数且 k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)． (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数且 a≠0)， 4ac  b 2 , �) 4a 当 a>0 时，二次函数的值域为 ； [ 4ac  b 2 ( �, ] 4a 当 a<0 时，二次函数的值域为 . 求二次函数的值域时，应掌握配方法： y  ax 2  bx  c  a( x  b 2 4ac  b 2 )  2a 4a . 三、分段函数 分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称 为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 【知识拓展】 1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． ① 两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域 和对应关系完全相同时，才表示相等函数． ② 函数的自变量习惯上用 x 表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2 m−1 均表示相等函数. (2)映射的个数 m 若集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则从集合 A 到集合 B 的映射共有 n 个． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 四、函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 定义 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2 当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)， 当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)， 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减 函数 函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的单调区间． 五、函数的最值 前提 设函数 y  f  x 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足 （1）对于任意的 x �I ，都有 f  x  �M 条件 （2）存在 ； x0 �I ，使得 f  x0   M 结论 （3）对于任意的 x �I ，都有 f  x  �M （4）存在 ； x0 �I ，使得 f  x0   M M 为最大值 M 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函 数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 六、函数单调性的常用结论 （1）若 f  x , g  x （2）若 k f  x  g  x 均为区间 A 上的增(减)函数，则 也是区间 A 上的增(减)函数；  0 ，则 kf  x  与 f  x  的单调性相同；若 k  0 ，则 kf  x  与 f  x  的单调性相反； （3）函数 y  f  x  f  x  0 在公共定义域内与 （4）函数 y  f  x   f  x  �0  在公共定义域内与 y   f  x y f ( x) y ， 1 f ( x ) 的单调性相反； 的单调性相同； （5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性： ① y  x 1 x 的单调性：在  �, 1 和  1, � 上单调递增，在  1, 0  和  0,1 上单调递减； � � b � �b b  � ,  , � � � � � y  ax  � � a � �a � � a  0 b  0 x ② （ ， ）的单调性：在 和 上单调递增，在 � b � � b�  ,0� 0, � � � � � � � � a �和 � a �上单调递减． 七、函数的奇偶性 （1）．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数 都有 f  x  f  x  如果对于函数 奇函数 都有 f  x f  x 图象特点 的定义域内任意一个 x ， ，那么函数 f  x 图象关于 y 轴对称 是偶函数 的定义域内任意一个 x ， f  x   f  x ，那么函数 f  x 是奇函 图象关于原点对称 数 判断 f ( x) 与 f  x  的关系时，也可以使用如下结论：如果 f ( x )  f  x   0 或 f ( x)  1( f ( x) �0) ，则函数 f  x  为偶函数；如果 f ( x)  f  x   0 或 f ( x) f ( x)  1( f ( x) �0) ，则函数 f  x  为奇函数． f ( x) 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 x，  x 也在定义域内（即定义域关于原点对称）． （2）．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单 调性相反． （2） f ( x ) ， g ( x) 在它们的公共定义域上有下面的结论： f ( x) g ( x) f ( x )  g ( x) f ( x)  g ( x) f ( x ) g ( x) f ( g ( x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括 0 ，则 f  0  0 ． f  x  f  x  f  x  （4）若函数 f  x （5）定义在  �, � 上的任意函数 f  x  都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和． （6）若函数 y 函数， 是偶函数，则 ．  f  x  的定义域关于原点对称，则 f  x   f   x  为偶函数， f  x   f   x  为奇 f  x  �f   x  为偶函数． （7）掌握一些重要类型的奇偶函数： ① 函数 f  x   a x  a x 为偶函数，函数 f  x   a x  a x 为奇函数． ② 函数 ③ 函数 ax  ax a2x 1  a x  a  x a 2 x  1 （ a  0 且 a �1 ）为奇函数． f  x  f  x   log a 1 x 1  x （ a  0 且 a �1 ）为奇函数．  ④ 函数 f  x   log a x   x2 1 （ a  0 且 a �1 ）为奇函数． 八、函数的周期性 1．周期函数 对于函数 y  f  x f  x  T   f  x ，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数 y  f  x 为周期函数，称 T 为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数 f  x  的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 f  x  的最小 正周期（若不特别说明， T 一般都是指最小正周期）. 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. 3．函数周期性的常用结论 设函数 y  f  x ， x �R，a  0 . ① 若 f ( x  a )  f ( x  a ) ，则函数的周期为 2a