《立体几何》 【知识归纳】 ¿ 线面位置关系的相关判定定理和性质定理： 定理 语言表示 图形表示 符号表示 平面外一条直线与此 直 a 判定 平面内的一条直线平 线 定理 行，则该直线与此平 a � � � b � �� a //  a // b � b  和 面平行． 平 一条直线与一个平面 面 性质 平行，则过这条直线  平 定理 的任一平面与此平面  a a //  � � a � �� a // b  I   b� b 行 的交线与该直线平行． a 直 判定 一条直线与一个平面 线 定理 内的两条相交直线都 和 垂直，则该直线与此 平 平面垂直．  m P n am an mI n  m � n � � � � p �� a   � � 面 a 性质 垂直于同一平面的两 垂 定理 条直线平行． b   a   � a // b b  直 平 判定 一个平面内的两条相  面 定理 交直线与另一个平面 和 平行，则这两个平面 平 平行． 面 如果两个平行平面同 性质 平 a P b  b 时和第三个平面相交 ， 那么它们的交线平行． 平 一个平面过另一个平 面的垂线，则这两个 定理 和 平面垂直． 平 两个平面垂直，则一   面 性质 个平面内垂直于交线 垂 定理 的直线与另一个平面 直 垂直．  a   �   a �  a 判定 面  //  � �  I   a �� a // b  I   b� a  行 � � � p ��  //  � �   定理 a � b � aI b  a //  b //   b a   �  I   b �� a   � ab � a � � 【典例】 考向一：线面平行 1．（2021 春•汉中期末）如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，∠ABP＝90°，AB＝BP＝ 2，点 D 在平面 ABP 内的投影 F 是 AB 的中点，点 E 是 PC 的中点． （1）证明：EF∥平面 ADP； （2）若 PD＝3，求 C 到平面 PDF 的距离． 2．（2021 春•保定期末）在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面 ABCD，点 E 是 PB 中点． （1）求证：PD∥平面 EAC； （2）若 PA＝AD＝2，AB＝2，求三棱锥 P﹣ACD 的表面积． 3．（2021•香坊区校级四模）在三棱锥 P﹣ABC 中，△ABC 为等腰直角三角 形，AB＝AC＝1， ，E 为 PA 的中点，D 为 AC 的中点，F 为棱 PB 上靠近 B 的三等分点． （1）证明：BD∥平面 CEF． （2）若 PA⊥AC，求二面角 E﹣CF﹣B 的正弦值． 考向二：线面垂直 4．（2021 春•铁东区校级期末）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，平面 PAD⊥ 平面 ABCD，且四边形 ABCD 为矩形，AB＝1，AD＝2，PD＝ ，E 为 BC 的中点，PE⊥DE． （1）证明：PA⊥平面 ABCD； （2）求直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值． 5 ． （ 2021 春 • 雨 花 区 校 级 期 末 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P﹣ABCD 中 ， 平 面 PAD⊥ 平 面 ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝PD＝PA＝AD＝ AB＝2． （1）求证：平面 PBC⊥平面 PAB； （2）求二面角 D﹣PC﹣B 的正弦值． 6．（2021•宜宾模拟）已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为平行四边形，平面 PBC⊥平面 ABCD，点 E 在 AD 上， AD⊥平面 PEC． （1）求证：PC⊥平面 ABCD； （2）若 AE＝2ED，在线段 PB 上是否存在一点 F，使得 AF∥平面 PEC，请说明理由． 7．（2021 春 • 广州期末）如图， PA 垂直于⊙O 所在的平面，AC 为⊙O 的直径， AB＝3，BC＝4，PA＝3 ，AE⊥PB，点 F 为线段 BC 上一动点． （1）证明：平面 AEF⊥平面 PBC； （2）当点 F 移动到 C 点时，求 PB 与平面 AEF 所成角的正弦值． 【当堂达标】 1 ． （ 2021 春 • 济 宁 期 末 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P﹣ABCD 中 ， PA⊥ 底 面 ABCD，底面四边形 ABCD 为直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，PA＝AD＝CD＝2AB，M 为 PC 的中点． （1）求证：BM∥平面 PAD； （2）求证：BM⊥平面 PCD． 2．（2021•梁园区校级模拟）如图，在直棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， AA1＝3．点 E 是线段 AD1 上的动点（不含端点），O 为 AC 的中点． （1）当 E 为 AD1 的中点时，证明：EO∥平面 ABB1A1； （2）当 时，求点 A 到平面 BCE 的距离． 3．（2021 春•聊城期末）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥平面 ABC，D 为 BC 的中点，F 为 PD 的中点， E 为线段 AC 上一点，AC＝4AE． （1）证明：EF∥平面 PAB； （2）若经过点 E 在底面 ABC 内画一条直线与 PD 垂直，则应该怎样画？请说明理由． 4．（2021 春•绵阳期末）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，∠BCD＝45°，点 E 为线段 AB 的中点，PA＝PD＝PE＝ ，AB＝2 ，BC＝2，点 E 为线段 AB 的中点． （1）证明：BD⊥平面 ADP； （2）求二面角 D﹣CP﹣E 的余弦值． 5 ． （ 2021• 兴 宁 区 校 级 二 模 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 E﹣ABCD 中 ， DC∥AB ， ∠ BAD ＝ 90° ， 面 EAD⊥ 面 ABCD，AB＝AD＝AE＝ED＝ DC＝1，M 为 EB 的中点． （1）求证：DM⊥AE； （2）求直线 DM 与平面 BCE 所成角的正弦值． 6．（2021•广州模拟）如图，平面 ABCD⊥平面 ABE，AD∥BC，BC⊥AB，AB＝BC＝2AE＝2，F 为 CE 上 一点，且 BF⊥平面 ACE． （1）证明：AE⊥平面 BCE； （2）若平面 ABE 与平面 CDE 所成锐二面角为 60°，求 AD． 7．（2021•未央区校级二模）如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 C，D 的点． （1）证明：直线DM⊥平面 BMC； （2）在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC∥平面 PBD？说明理由． 所在平面垂直，M 是半圆弧上异于 【课后巩固】 1．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥 A﹣BCD 中，平面 ABD⊥平面 BCD，AB＝AD，O 为 BD 的中点． （1）证明：OA⊥CD； （2）若△OCD 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上， DE＝2EA，且二面角 E﹣BC﹣D 的大小为 45°，求三棱锥 A﹣ BCD 的体积． 2．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥 Q﹣ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，若 AD＝2，QD＝QA＝ 3． （1）求证：平面 QAD⊥平面 ABCD； （2）求二面角 B﹣QD﹣A 的平面角的余弦值． ，QC＝ 3．（2021•甲卷）已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 AA1B1B 为正方形，AB＝BC＝2，E，F 分别为 AC 和 CC1 的中点，D 为棱 A1B1 上的点，BF⊥A1B1． （1）证明：BF⊥DE； （2）当 B1D 为何值时，面 BB1C1C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最小？ 4．（2021•乙卷）如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面是矩形，PD⊥底面 ABCD，PD＝DC＝1，M 为 BC 中点， 且 PB⊥AM． （1）求 BC； （2）求二面角 A﹣PM﹣B 的正弦值． 5．（2021•湛江三模）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AA1＝AB＝3，BC＝2，E，P 分别是 B1C1 和 CC1 的 中点，点 F 在棱 A1B1 上，且 B1F＝2． （1）证明：A1P∥平面 EFC； （2）若 AA1⊥底面 ABC，AB⊥BC，求二面角 P﹣CF﹣E 的余弦值．