高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教 A 版 2019 必修第一 册) 第三章 函数的概念与性质 3.1　函数的概念及其表示 【考点梳理】 考点一：函数的有关概念 设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中任意一个数 x，按照某种 函数的定义 确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就 函数的记法 定义域 值域 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 y＝f(x)，x∈A x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 函数值的集合叫做函数的值域 考点二：同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的 定义域相同，并且对应关系完全一致，我 们就称这两个函数是同一个函数． 考点三：区间 1．区间概念(a，b 为实数，且 a<b) 定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b} 名称 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 符号 [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] 数轴表示 2.其他区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} 区间 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] {x|x<a} (－ ∞，a) 考点四：　函数的表示方法 考点五：　分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空 集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 【题型归纳】 题型一：函数定义的判断 1．（2020·佛山市南海区里水高级中学高一月考）设集合 示从集合 M 到集合 N 的函数关系的有（ M   x∣ 0 �x �2 ，∣N   y 0 �y �2 ） ① ② ③ ④ A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 2．（2021·全国）下列集合 A 到集合 B 的对应 f 是函数的是（ ） A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A 中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A 中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A 中的数取倒数 D．A＝R，B＝{正实数}，f：A 中的数取绝对值 3．（2021·全国高一课时练习）下列图形可表示函数 y  f ( x) 图象的只可能是（ A． B． C． D． ） .下列四个图象中能表 题型二：区间的表示 4．（2020·宾县第一中学高一期中）集合 A． C．  x x  0或x �1 用区间表示为（  �, 0  � 1, �  �, 0  � 1, � B．  �, 0  U 1, � D．  0,1 5．（2019·太原市第五十三中学校高一月考）已知集合 间形式为（ A   x | x �1, x �R  �, 1 U  2, � B． ( C．  �, � D． B   x | x �2, x �R - 1, 2)  �, 1 � 1, 2  � 2, � 6．（2020·全国高一课时练习）下列四个区间能表示数集 C． ， ） A． A． ） (0,5) U (10,＋�) B．  0,5 U[10,＋�) D． A   x |0 �x  5 或 x  10 的是（ ）  0,5  U (10,＋�)  0,5 U (10,＋�) 题型三：具体函数的定义域 1 7．（2021·咸丰春晖学校高一月考）已知函数 f(x)= x  2 + .则该函数的定义域为（ x 3 A．[2，+ �). C．(2，+ �) B．[2，3). 8．（2020·乌鲁木齐市第三十一中学高一月考）函数 y  2  x  A． 2  �， B． (�,1) � 1, 2 9．（2021·全国高一课时练习）函数 A．  �, 1 � 6, � B． f  x   �, 1 � 6, � C．  1，2 D．[2，3) U （3，+ �） 1 的定义域为（ ） x 1 D． 1  �，  x2  5x  6 的定义域（ ） x 1 C．  1,6 ） D．  2,3 ，则 AUB 写成区 题型四：已知函数的定义域求参数范围 mx 2  mx  1 10．（2019·云南省楚雄天人中学高一月考）已知函数 f(x)= 的定义域是一切实数，则 m 的取值范围是 （ ） A．  0, 4 B．  0,1 C． 11．（2020·宾县第一中学）已知函数 f ( x)  D．  0, 4 5x  7 的定义域是 R，则实数 a 的取值范围是（ ax 2  2ax  1 B． (�, 0) �(1, �) A．(0，1) C．  4， �  0,1 D． 0  � 1  �  -�，， 12．（2020·邹城市第一中学）命题“ 0 �a  4 ”是命题“函数 y  ax 2  ax  1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 的定义域为 R ”的（ 题型五：复杂（根式、分式）函数的值域 13．（2019·长沙市南雅中学高一月考）函数 f  x   2   x2  4 x A．  2,2 C．  0, 2 B．  1, 2 的值域是（ �  2, 2 � � D． � x 1 14．（2021·全国高一课时练习）函数 f ( x )  x  1 （ x  0 ）的值域为（ ， A． (11) ， B． [11) 15．（2021·全国高一专题练习）函数 �1 1�  , � 2 2� � A． � B．  0,1 ， C． ( 11] y x 1 x 的值域是（ � 1� 0, � 2� � C． � ） ） ， D． [11] ） D．  0, � ） ） 题型六：已知函数类型求解析式（待定系数法） 16．（2021·新疆五家渠市兵团二中金科实验中学高一开学考试）已知 2 f  2   3 f  1  5, 2 f  0   f  1  1 ，则 B． 3 x  2 A． 3 x  2 5 3 B． 4 x  （ D． 2 x  3 f ( x)  kx  b( k  0) 5 3 C． f  x 18．（2019·甘肃武威·高一月考）已知 是一次函数， ） C． 2 x  3 17．（2020·全国高一单元测试）设函数 A． 4 x  f  x  f  x ，满足 f ( f ( x ))  16 x  5 ，则 B． C． f  x   2 x 2  2 x  1 D． f  x   2 x 2  2 x  1 f  x   2 x2  2 x  1 题型七：换元法求函数解析式 19．（2021·全国高一专题练习）若函数 A． 1 f (2 x  1)  x 2  2 x ，则 f (3) 等于（ ） D． 3 C．1 B． 0 � 1� f� 1  � 2 x  1 20．（2021·全国高一专题练习）设函数 � x � ，则 f  x  的表达式为（ A． 1 x  x �1 1 x B． 1 x  x �1 x 1 C． 1 x  x �1 1 x D． 2x  x �1 x 1 21．（2021·广东高一单元测试）已知 A． x 2  1 x �0  B． f x  1 x �1   x 1  x  2 x C． ） f  0   1 f  x  1  f  x   4 x f  x , ,则 的解析式为（ ） f  x   2 x 2  2 x  1 （ D． 4 x  1 4x - 1 为二次函数,且满足 A． f ( x)  ，则 f  x   （ x 2  1 x �1 D． ） ） x  1 x �0  题型八：抽象函数求解析式（组方程法） 22．（2020·浙江高一单元测试）已知 f ( x)  2 f ( x)  3 x  1 ，则 f ( x)  ( 　　 ) A． 3 x  1 3 B． 3x 23．（2019·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知函数 1 2 A． x  x 3 1 2 B． x  3 x 3 D．  x  C． 3 x  1 f ( x) 满足 1 3 f ( x)  2 f (  x)  3 x  x 2 1 2 C． x  3 x 3 D． ，则 f ( x)  （ ） x 2  3x 1 24．（2020·全国高一课时练习）已知函数 f  x  满足 f  x   2 f  1  x    1 ，则 f ﹣2  的值为 x A．  1 18 B．  1 6 C． 1 18 D． 1 6 题型九：函数相等问题 25．（2021·江西宜春市·高安中学高一月考）下列各组函数中，表示同一函数的是（ A． y  1 ， y  x x ） B． y  x  1 � x  1 ， y  x 2  1 C． y  2 x 1  2 x ， y  2 x D． y  x 2 ， y   x 3 3 26．（2020·黔西南州同源中学高一期中）下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（ ① y1  ( x  3)( x  5) x3 A．① y2  x  5 ② y1  x  1 x  1 B．② y2  ( x  1)( x  1) ③ y1  ( 2 x  5)2 C．③ f ( x)