5.7.1 三角函数的应用-【新教材】人教 A 版（2019）高 中数学必修第一册同步练习（含解析） 一、单选题 1. 电流 I ( A) 随时间 t (s) 变化的关系是 I =3 sin 100 πt ， t ∈ ¿ ，则电流 I 变化的周期是 A. 2. 1 50 ¿ ¿ ¿ B. 50 C. 1 100 如下图是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是 () A. 该质点的振动周期为 0.7 s B. 该质点的振幅为 −5 cm C. 该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时的振动速度最大 D. 该质点在 0.3 s 和 0.7 s 时的加速度为零 3. ¿ 如图表示电流强度 I 与时间 t ¿ 关系为 I =A sin(ωx + φ)( A >0, ω> 0)¿ 在一个周期内的图象， 则该函数解析式可以是 ¿ ¿ A. π I =300 sin(50 πt+ ) 3 B. π I =300 sin (50 πt− ) 3 C. π I =300 sin (100 πt+ ) 3 D. π I =300 sin(100 πt− ) 3 ¿ D. 100 4. 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按月呈 π f ( x)= A sin (ωx +φ)+b ( A >0, ω> 0,∨φ∨¿ ) 的模型波动 x 为月份 ¿ ， ¿ 2 已知 3 月份达到最高价 9 千元，7 月份价格最低为 5 千元，根据以上条件可确定 f ( x) 的解析式为 () π π ¿ A. f ( x)=2 sin( 4 x− 4 )+7(1 ≤ x ≤ 12, x ∈ N ) π π ¿ B. f ( x)=9 sin( 4 x − 4 )+7 (1≤ x ≤ 12, x ∈ N ) π ¿ ❑ C. f ( x)=2 √ 2 sin 4 +7(1 ≤ x ≤ 12, x ∈ N ) π π ¿ D. f ( x)=2 sin( 4 x + 4 )+7 (1 ≤ x ≤12, x ∈ N ) 5. 已知某人的血压满足函数解析式 f (t)=24 sin(160 πt )+115. 其中 f (t) 为血 ¿ ¿ 压 ¿ 单位： mmHg ¿ ，t 为时间 ¿ 单位： min ¿ ，则此人每分钟心跳的 次数为 () A. 60 6. B. 70 C. 80 D. 90 某城市 6 月份的平均气温最高，为 29.45 ℃ ；12 月份平均气温最低，为 18.35℃ . 若 x 月份的平均气温为 y ℃ ，满足条件的一个模拟函数可以是 () 7. A. y=23.9−5.55 sin π x 6 B. y=23.9−5.55 cos π x 6 C. y=23.9−5.55 tan π x 6 D. y=23.9+5.55 cos π x 6 如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=3 sin( ¿ 大值为 ¿ π x +φ)+k ，据此函数可知，这段时间水深 ¿¿ 单位： m¿ 的最 6 ¿ A. 5 8. B. 6 C. 8 D. 10 稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地 的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了 ¿ 统计与预测：发现每个季度的平均单价 y ¿ 每平方米的价格，单位：元 ¿ 与 第 x 季度之间近似满足： y=500 sin( ωx +φ)+9500( ω>0) ，已知第一、二季 度平均单价如下表所示： x 1 2 3 y 10000 9500 ？ ¿ 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是 ¿ A. 10000 元 9. B. 9500 元 ¿ C. 9000 元 D. 8500 元 车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆 ¿ 分，上班高峰 ¿ 期某十字路口的车流量由函数 F( t)=50+ 4 sin t ¿ 其中 0 ≤t ≤20 ¿ 给出， 2 F( t) 的单位是辆 ¿ 分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的 ¿ ¿ ¿ A. [0,5] B. [5,10 ] C. [10,15] −π π ¿ 10. 函数 f (x)=cosx∨tanx∨( 2 < x < 2 ) 的大致图象是 ¿ D. [15,20] ¿ A. B. C. D. −π π ¿ 11. 函数 y=sinx+tanx ( x ∈[ 4 , 4 ]) 的值域是 ¿ A. [ −❑√ 2 ❑√ 2 , ] 2 2 B. [−2,2] C. [ ❑ −❑√ 2 2 −1, √ +1] 2 2 D. [ ¿ ❑ −❑√ 2 2 + 1, √ +1] 2 2 12. 如图所示是一个半径为 3 m 的水轮，水轮的圆心 O 距水面 2 m ，已知水轮每分钟转 4 圈，水轮上的点 P 到水面的距离 y (m) 与时间 x (s) 满足关系式 y= Asin( ωx +φ)+2 ， 则有 () 5π A. ω= 12 ， A=3 2π B. ω= 15 ， A=3 5π C. ω= 12 ， A=5 2π D. ω= 15 ， A=5 二、多选题 13. 已知函数 ¿ x∨¿−sin ( 52π + x) f (x )=2 ¿ ，对于任意的 x 1 ， x 2 ∈[−π , π ] ，其中能 ¿ 使 f (x1 )>f ( x2 ) 恒成立的条件是 ¿ A. x 21> x 22 B. x 1> x 2 ¿ C. ¿ x 1∨¿ x2 D. x 1>¿ x 2∨¿ 14. 关于函数 y= Asin( ωx +φ)(ω >0, A ≠ 0) 与函数 π y= Acos( ωx+ φ)(ω> 0, A ≠ 0) 在区间 ( x 0 , x 0 + ) 上的图象有下列叙述， ω ¿ ¿ 其中错误的是 ¿ A. 至少有两个交点 B. 至多有两个交点 C. 至多有一个交点 D. 至少有一个交点 三、填空题 15. 如图所示是一弹簧振子作简谐运动的图象，横轴表示振 动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函 数解析式是 ． 16. 如图所示图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度 y (m) 在某天 24 h 内的变化情况，则水面高度 y 关于从夜间 0 时开始的时间 x 的函数关系式 为___________． πx 17. 有一种波，其波形为函数 y=sin 2 的图象，若在区间 [0,t ](t >0) 上至少 ¿ 有 2 个波峰 ¿ 图象的最高点 ¿ ，则正整数 t 的最小值是 ． 18. 如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的位移 s (cm) 关于时间 t (s) 的函数表达式为 π 6 ( s=6 sin 2 πt + ) ，那么单摆来回一次所需的时间 s. 为 ¿ 19. 下表是某路段 7 :00 ～16 :00 人流量的统计数据，已知人流量 y ¿ 人 ¿ 与 ¿ 时刻 t ¿ 时 ¿ 近似地满足函数 y= Asin(ωx +φ)+b(ω>0, A>0) . 则人流量 y 关于时刻 t 的函数解析式是________． 时刻 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.03 5 3 4.9 7 5 2.95 5.02 6.95 5 t /¿ 时 人流量 y/¿ 人 20. 某实验室一天的温度 (℃) 随时间 t (h) 的变化规律近似满足函数 f (t)=10−2 sin 则每天 时至 ( 12π t+ π3 ) ， t ∈ ¿ ，若要求实验室温度不高于 11 ℃ ， 时需要降温． 四、解答题 21. 健康成年人的收缩压和舒张压一般为 120 ～140 mmHg 和 60 ～90 mmHg . 心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张 压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数 120/ 80 mmHg 为标准值． 设某人的血压满足函数式 p(t)=115+25 sin(160 πt) ，其中 p(t) 为血压 (mmHg) ，t 为时间 (min) ． (1) 求函数 p(t) 的周期； (2) 求此人每分钟心跳的次数； (3) 求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较． 22. 如图所示，某地夏天从 8 ～14 时的用电量变化曲线近似满足函数 π y= Asin( ωx+φ)+b( 0<φ< ). 2 (1) 求这一天的最大用电量及最小用电量； (2) 写出这段曲线的函数解析式． 23. 已知电流 i (A ) 与时间 t (s) 的关系式为 i= Asin( ωt+ φ) ． (1) 如图所示是 在一个周期内的图象， 根据图中数据求 i= Asin( ωt+ φ) 的解析式． 1 s (2) 如果在任意的 i= Asin( ωt+ φ) 都能取得最大值与最 150 内，电流 小值，那么 ω 的最小正整数值是多少？ 24. 如图所示，一个摩天轮半径为 10 m ，轮子的底部在地面上 2 m 处，如果此 ¿ 摩天轮按逆时针转动，每 30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点 P 处 ¿ 点 P 与摩天轮中心高度相同 ¿ 时开始计时． (1) 求此人相对于地面的高度关于时间的关系式； (2) 在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于 17 m ？ 答案和解析 1.【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查三角函数的应用 . 根据 即可得出答案． 【解答】 解：由题意得： ， 故选 A． 2.【答案】D 【解析】 【分析】 本题主要考查三角函数的应用 . 利用 排除法 逐一排除选项． 【解答】 解： 周期为 2×(0.7−0.3)=0.8(s) ，故 A 错误； 振幅为 5，故 B 错误 ; 该原点在 0.1 s 和 0.5 s 时的速度为 0，故 C 错误； 故选 D． 3.【答案】C 【解析】 【分析】 本题主要考查求三角函数的解析式 . 分别求出 A , ω , φ 即可得出答案． 【解答】 解：由图像得： 把 −1 , 0) ( 300 ， 代入 ， 得 ， 令 k =0 则 ， 故 ． 故选 C． 4.【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查求三角函数解析式 . 把实际问题转化成数学模型并求出 A , ω , φ ,