北京市 2020 届高三一模分类 解三角形 正弦定理、余弦定理的基础 1．（2020·北京朝阳·一模）已知 VABC ，则“ sin A  cos B ”是“ VABC 是直角三角形”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2020·北京朝阳·一模）在 VABC 中， AB  BC ， �ABC  120�.若以 A ， B 为焦 点的双曲线经过点 C ，则该双曲线的离心率为（ 3 1 C． 2 7 B． 2 5 A． 2 ） D． 3  3．（2020·北京顺义·一模）在 ABC 中，若 ac  8 ， a  c  7 ， B  3 ，则 b  ______ ___.  4．（2020·北京海淀·一模）在△ABC 中， AB  4 3, �B  4 ，点 D 在边 BC 上， �ADC  2 , 3 CD=2，则 AD=___；△ACD 的面积为____. 5．（2020·北京东城·一模） VABC 是等边三角形，点 D 在边 AC 的延长线上，且 AD  3CD ， BD  2 7 ，则 CD  ______； sin �ABD  ______. 6．（2020·北京延庆·一模）在 VABC 中， AB  10，D 是 BC 边的中点.若 �CAD  45� ，AC  6 2 AC  6，�A  60� VABC AD ，则 的长等于________；若 ，则 的面积等于____________. 正弦定理、余弦定理提升  7．（2020·北京朝阳·一模）在 △ ABC 中， b sin A  a cos( B  ) . 6 （1）求 B ； （2）若 c  5 ，.求 a .  从① b  7 ，② C = 4 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 8．（2020·北京平谷·一模）在 高.在① sin A   �B  ， 中， b  7 ，______，求 BC 边上的 VABC 3 21 7 ；② sin A  3sin C ；③ a  c  2 这三个条件中任选一个，补充在 上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 9．（2020·北京西城·一模）已知 VABC 满足 2 ，且 b  6，A  3 ，求 sinC 的值  及 VABC 的面积.（从① B  4 ，② a  3 ，③ a  3 2 sinB 这三个条件中选一个，补 充到上面问题中，并完成解答.） 10．（2020·北京东城·一模）在① sin B  cos B  2 已知 VABC b 2 ，② a cos B  b sin A ，③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题. 的内角 ，求 b 2  2ac  a 2  c 2 VABC A ， ， B 的面积.  的对边分别为 ， ， ，___________， A  ， C a b c 3 11．（2020·北京丰台·一模）在 VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已 知 c4 ， A  . 3 （1）当 b  2 时，求 a； （2）求 sin B  3 cos C 的取值范围. 12．（2020·北京通州·一模）已知 VABC ，满足 a 7 ， b2 ，______，判断 VABC 的面积 S  2 是否成立？说明理由. 从① A 21  cos B  7 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格 3 ；② 处并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 13．（2020·北京怀柔·一模）已知在 ABC 中， a2 ， b 2 ，同时还可能满足以 下某些条件： π ① A  4 ；② B  A ；③ sin B  sin A ；④ c  4 . （1）直接写出所有可能满足的条件序号； （2）在（1）的条件下，求 B 及 c 的值. 14．（2020·北京密云·一模）在 VABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，并且 b 2  c 2  a 2  bc . （1）已知_______________，计算 VABC 的面积； 请① a 7 ，② b2 ，③ sin C  2sin B 这三个条件中任选两个，将问题（1）补充 完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答， 以第一种情况的解答计分. （2）求 cos B  cos C 的最大值. 15．（2020·北京石景山·一模）已知锐角 VABC ，同时满足下列四个条件中的三个： ①A  1 ② a  13 ③ ④ sin C  c  15 3 3 （1）请指出这三个条件，并说明理由； （2）求 VABC 的面积. 16．（2020·北京大兴·一模）在 ABC 中， c  1 ， A 3 2π 3 ，且 ABC 的面积为 2 ． （1）求 a 的值； （2）若 D 为 BC 上一点，且 π ，求 sin �ADB 的值． 从① AD  1 ，② �CAD  6 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 17．（2020·北京房山·一模）在 从① b  4 ；② cos B   问题中并作答. （1）求 VABC 的面积； （2）求 sin  A  B  . VABC 中，a  2 ，c  10 ，________.（补充条件） 10 5 sin A  5 ；③ 10 ， 这三个条件中任选一个，补充在上面 北京市 2020 届高三一模分类 解三角形-解析 正弦定理、余弦定理的基础 1．（2020·北京朝阳·一模）已知 VABC ，则“ sin A  cos B ”是“ VABC 是直角三角形”的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】 若 sin A  cos B ，则 A  B     或 A  B  ；若 A  ，则 sin A �cos B ；由充分条件和 2 2 2 必要条件的概念即可得解. 【详解】 若 sin A  cos B 若A ，则 A  B    或 A  B  ，不能推出 是直角三角形； 2 VABC 2  ，则 sin A �cos B ，所以 VABC 是直角三角形不能推出 sin A  cos B ; 2 所以“ sin A  cos B ”是“ VABC 是直角三角形”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【点睛】 本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题. 2．（2020·北京朝阳·一模）在 VABC 中， AB  BC ， �ABC  120�.若以 A ， B 为焦 点的双曲线经过点 C ，则该双曲线的离心率为（ ） 5 A． 2 7 B． 2 C． 3 1 2 D． 3 【答案】C 【分析】 设双曲线的实半轴长，半焦距分别为 a, c ，根据双曲线的定义可得 AC  BC  2a ，根 据余弦定理可得 AC  2 3c ，再根据离心率公式即可求得结果. 【详解】 设双曲线的实半轴长，半焦距分别为 a, c ， 因为 �ABC  120�，所以 AC  BC ， 因为以 A ， B 为焦点的双曲线经过点 C 所以 AC  BC  2a ， AB  BC  2c ， 在三角形 ABC 中由余弦定理得 cos120o  AB 2  BC 2  AC 2 2 �AB �BC ， 1 4c 2  4c 2  AC 2  2 2 8c 2 所以 2 ，解得 AC  12c ，所以 AC  2 3c ，  c 3 1  所以 2 3c  2c  2a ，所以 a 2 ， 故选：C 【点睛】 本题考查了双曲线的定义，考查了余弦定理，考查了双曲线的离心率，属于基础题.  3．（2020·北京顺义·一模）在 ABC 中，若 ac  8 ， a  c  7 ， B  3 ，则 b  ______ ___. 【答案】5 【分析】 根据余弦定理和三角形的边之间的关系求解. 【详解】  解：因为在 ABC 中, ac  8 , a  c  7 , B  3 , 2 2 2 由余弦定理： b  a  c  2ac cos B , b 2 =( a +c) - 2ac - 2ac cos 2 p 3, 1 b 2 =7 2 - 2 �8 - 2 �8 � =25 2 所以 b  5 . 故答案为： 5 【点睛】 本题题考查余弦定理求三角形的边,属于基础题.  4．（2020·北京海淀·一模）在△ABC 中， AB  4 3, �B  4 ，点 D 在边 BC 上， �ADC  2 , 3 CD=2，则 AD=___；△ACD 的面积为____. 【答案】 4 2 2 6 【分析】 在 △ ABD 中用正弦定理求解 AD ，在 VACD 用面积公式可得. 【详解】 Q �ADC  2  ,  �ADB  , 3 3 在 AD AB 中由正弦定理得： sinB  sin �ADB ， △ ABD ABsinB AD   sin �ADB 在 VACD 中， 故答案为： 4 3sin sin SVACD   3  4 4 2 . 1 1 3 AD �DC sin �CDA  �4 2 �2 �  2 6 ， 2 2 2 4 2 2 6 ; . 【点睛】 本题考查平面几何中解三角形问题. 其求解思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用 正弦、余弦定理、勾股定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 5．（2020·北京东城·一模） VABC 是等边三角形，点 D 在边 AC 的延长线上，且 AD  3CD ， 【答案】 2 BD  2 7 ，则 CD  ______； sin �ABD  ______. 3 21