保密☆启用前 广州市第六中学 2022 届高三第一学期期末模拟考试 （数学） 姓名： 得分： 第 I 卷（选择题） 评卷人 得分 一、选择题(共 12 题，每题 5 分，共 60 分) 1．已知全集 U={x∈N|0≤log2 A.{x|3<x≤4} 2．已知复数 z1= ❑ √x ≤1},集合 A={x∈N|2≤2x≤8},则∁UA= B.{4} C.{0,4} D.{x|3≤x≤4} 1 -i 1+i 在复平面内对应的点为 Z1,复数 z2 在复平面内对应的点为 Z2,若向量 ⃗ Z 1 与虚轴垂直,则 z2 的虚部为 A.0 B.1 C.-1 D.-i π π −1 ,1]上的单调递增区间为 3．已知函数 f(x)=2sin( x+ 2 3 ),则 f(x)在[ 1 1 A.[- 3 , 3 ] 1 B.[-1, 3 ] 4．已知双曲线方程为 x2- y2 =λ,则 “λ= λ2 C.[-1,1] ❑ √3 π π D.[- 4 , 4 ] ”是“双曲线离心率为 2”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．在区间[0,2]上随机取两个数 x,y,若事件“|y-x|≤a”发生的概率与事件“x+y≤2”发生的概率相 等,则 a 的值为 A.1 B.2- ❑ √2 C.2 D.2+ ❑ √2 6．已知等比数列{an}的公比为 q,前 4 项的和为 a1+14,且 a2,a3+1,a4 成等差数列,则 q= 1 A.2 或 2 1 B. 2 C.1 或-1 D.1 7．某三棱锥的三视图如图所示,其中小正方形的边长均为 1.三棱锥上的点 M 在俯视图上的 对应点为 A,点 N 在左视图上的对应点为 B,则线段 MN 长度的最大值为 A.3 ❑ √3 B.3 ❑ √2 C.9 D.6 8．执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值为 ❑ A.- √3 B.2- 3 ❑ √3 C.-2- ❑ √3 D. ❑ √3 9．已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,点 A 是抛物线 C 上任意一点,AO(O 为坐标原点)交直线 x=-1 于点 B,AF 交抛物线 C 于另一点 D,则直线 BD 的斜率为 A.-1 B.0 C.1 D.2 ⃗ BA +⃗ BC |=| ⃗ BA−⃗ BC |, ⃗ BC =2 ⃗ AD , ⃗ BE =-2 ⃗ AE ,| ⃗ BE |=| ⃗ BC |=2,若 F 为线段 DE 上的动点,则 ⃗ BF · ⃗ CF 的最小值为 10．如图,在平面四边形 ABCD 中,| A.1 B.2 C.4 D.3 11．在棱长为 2 的正方体 ABCD-A'B'C'D'中,有一个与正方体各个面均相切的球,平面 AB'D'截 该球所得截面的面积为 2 A. 3 π 4 B. 3 π C.π D.2π 12．已知 f(x),g(x)分别为定义域为 R 的偶函数和奇函数,且 f(x)+g(x)=ex,若关于 x 的不等式 2f(x)-ag2(x)≥0 在(0,ln 2)上恒成立,则实数 a 的取值范围是 A.(-∞, 40 9 ) B.[ 40 9 ,+∞) C.(-∞, 40 9 ] D.(- 40 9 ,0) 第 II 卷（非选择题） 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(共 4 题，每题 5 分，共 20 分) 13．函数 f(x)=x-1- ln x x 在(1,f(1))处的切线方程为　　　　. 14．某社区年终活动设置抽奖环节,方案如下:准备足够多的写有“和谐”、“和睦”、“复兴”的卡 片,参与者随机逐一抽取四张,若集齐三种卡片就获奖.王大爷按规定参与抽奖,则他直到第四 次抽取出卡片才确定获奖的不同情况种数为　　　　. 15．已知直线 l:(λ+2μ)x+(λ-μ)y-4λ-8μ=0 交☉O:x2+y2=25 于 A,B 两点,C 为 l 外一动点,且|AC|=2| BC|,当|AB|最小时,△ABC 面积的最大值为　　　　. 16．数列{an}满足 a1=1,|an-an-1|=n2(n∈N*且 n≥2),数列{a2n-1}为递增数列,数列{a2n}为递减数列, 且 a1>a2,则 a99=　　　　. 评卷人 得分 三、解答题(共 7 题，每题 12 分，共 84 分) 17．已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,C=120°. (1)若 a=2b,求 tan A 的值; (2)若∠ACB 的平分线交 AB 于点 D,且 CD=1,求△ABC 周长的最小值. 18．如图 1,在平面四边形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,AD=2EC=4AB=4,∠A=∠D=60°.将△CDE 沿 CE 折起,使点 D 到点 P 的位置,得到四棱锥 P-ABCE(如图 2),其中平面 PCE⊥平面 ABCE. (1)求证:BE⊥PC. (2)求二面角 P-AB-E 的大小. 19．某地区共有 200 个村庄,根据扶贫政策的标准,划分为贫困村与非贫困村.为了分析 2018 年度该地区的 GDP(国内生产总值)(单位:万元)情况,利用分层抽样的方法,从中抽取一个容量 为 20 的样本,并绘成如图所示的茎叶图. (1)(i)分别求样本中非贫困村与贫困村的 GDP 的平均值; (ii)利用样本平均值来估算该地区 2018 年度的 GDP 的总值. (2)若从样本中的贫困村中随机抽取 4 个村进行调研,设 X 表示被调研的村中 GDP 低于(i)中 贫困村 GDP 平均值的村的个数,求 X 的分布列及数学期望. 2 20．已知点 A(1,e)为椭圆 E: 2 x y + =1(a>b>0)上一点,其中 e 为椭圆的离心率,椭圆的长轴 a2 b2 长是短轴长的两倍. (1)求椭圆 E 的方程; (2)B,C(均不与点 A 重合)是椭圆上关于原点对称的两点,当△ABC 的面积最大时,求直线 BC 的方程. 21．已知函数 f(x)=ex-ax2-x-1. (1)若 f(x)在定义域内单调递增,求实数 a 的值; (2)若 f(x)在定义域内有唯一的零点,求实数 a 的取值范围. 22．在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 { x =❑√ 2+t cos α , (t 为参数,0≤α<π).以 y=❑√ 2+t sin α 坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆心为( ❑ √2 ,π)的圆 C 过极点. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若直线 l 与圆 C 恰好相切,求 α 的正切值. 23．已知函数 f(x)=|x-2|+|x-a|(a∈R,a>0)的最小值为 2. (1)求不等式 f(x)≤4 的解集; (2)记(1)中不等式的解集为[α,β],若正实数 x,y 满足 x+y=α,求 α β + x y 的最小值. 保密☆启用前 （数学）答案 1.B 2.C 3.B 4.A 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.A 12.C 13.y=0 14.18 15.12 16.4 950 17.(1)解法一　由 a=2b 及正弦定理知,sin A=2sin B, 则 sin A=2sin(60°-A), 则 sin A= ❑ √3 ❑ √3 得 tan A= 2 cos A-sin A, . 解法二　∵c2=a2+b2-2abcos C=4b2+b2-2×2b×b× ( ∴c= ❑ √7 b, b2 +c 2 - a2 b2 +7 b2 - 4 b2 2 = = , 2 bc 2× b × ❑√7 b ❑√ 7 则 cos A= ∴sin A= ∴tan A= √ ❑ √ 1-co s 2 A=❑ 1 - 47 = ❑√ 37 ❑ sin A ❑√ 3 = . cos A 2 (2)由题意知 S△ACD+S△BCD=S△ABC, √ , −1 ) =7b2, 2 1 1 1 bsin 60°+ asin 60°= 2 2 2 absin 120°,则 a+b=ab, ∴ ∴c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2+ab=(a+b)2-(a+b), 则 c= √ ( a+ b )2 -( a+b ) ❑ 由 a+b=ab,得 . 1 1 1 1 b a + + + =1,则 a+b=( )(a+b)=1+1+ a b a b a b ≥4,当且仅当 a=b 时等号成 立. 令 a+b=t,则△ABC 的周长为 a+b+c=t+ √ ❑ √t ❑ 2 - t =t+ √ ❑ 1 2 1 (t - ) (t≥4).易知函数 y=t+ 2 4 1 2 1 (t - ) 在[4,+∞)上单调递增, 2 4 ∴当 t=4,即 a=b=2 时,△ABC 的周长取得最小值 4+ ∴△ABC 周长的最小值为 4+2 ❑ √3 √ 42- 4 ❑ =4+2 ❑ √3 . . 18.(1)易知△CDE 为等边三角形,CE∥AB, 又 E 为 AD 的中点,AD=2EC=4AB=4,所以 AE=2. 在△ABE 中,由余弦定理得 BE2=AE2+AB2-2AB·AEcos60°=3, 所以 BE2+AB2=AE2,所以 BE⊥AB. 又 AB∥CE,所以 BE⊥CE. 又平面 PCE⊥平面 ABCE,平面 PCE∩平面 ABCE=CE, BE⊂平面 ABCD, 所以 BE⊥平面 PCE,所以 BE⊥PC. (2)由(1)知 BE⊥EC,所以以 E 为坐标原点,EB,EC 所在直线分别为 x 轴,y 轴,经过点 E 且与平面 ABCE 垂直的直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 则 A( ❑ √3 ,-1,0),B( ❑ √3 AB =(0,1,0), ⃗ BP =(所以 ⃗ ❑ √ 3 ), √ 3 ,1, ❑√ 3 ). ,0,0),P(0,1, ❑ 设平面 PAB 的法向量为 n2=(x,y,z), 则 { n2 · ⃗ AB=0 , ⃗ n2 · BP=0, 即 {√ y=0 , 则 y=0,令 x=1,则 z=1, - 3 x + y +❑√ 3 z=0 , ❑ 所以平面 PAB 的一个法向量为 n2=(1,0,1), 易知平面 ABE 的一个法向量为 n1=(0,0,1). ❑ 故 c