专题 17 三角形中线、角平分线、高线型 [真题再现] 例1 （2020·南通六月模拟·14）在三角形 ABC 中，D 为 BC 边上一点，且 BD  2CD ， cos 2 B AD  BD ，则 tan �BAC � 的最大值为__________． 3 【答案】 2 【分析一】为将已知中相关线段间的关系往所求之角的关系转化，利用“爪形结构”得出 uuur 1 uuur 2 uuur AD  AB  AC ，从而将已知中所有条件“据于一式”之中 .为出现所求，对其进行 3 3 “求模”运算起到“化边”的作用，最后运用三角函数知识解决. uuur 1 uuur 2 uuur AD  AB  AC 【解析一】在 ABC 中，由 BD  2CD 得： 3 3 uuur 2 1 uuu r 2 uuur 2 两边取模得： AD  3 AB  3 AC ，又 AD  BD 4 2 1 2 4 2 4 a  c  b  bc cos �BAC 代入都转化为边得： 9 9 9 9  2 2 2 4 c b a 即 4a  c  4b  4bc cos �BAC ， 由余弦定理得： 2 2   3c  4bc cos �BAC  0 2 8bc cos �BAC  3c 2  4bc cos �BAC  0 再由余弦定理得： 即 2 ，即 4sin B cos �BAC  sin C  sin  �B  �BAC  4sin B cos �BAC  sin B cos �BAC  cos B sin �BAC 所以 4b cos �BAC  c tan �BAC  3 tan B ， 3 3  tan �BAC � cos 2 B  3 tan B cos 2 B  sin 2 B � B 所以 2 2 （当 4 时，“=”成立）. 【分析二】设 BD  x, 则 AD  x, CD  x 2 ,在△ABD 和△ACD 中,由正弦定理化简可得 3x x � sin B � 2sin B cos B 2 2  , 由 两 角 差 的 正 弦 公 式 , 化 简 可 得 sin �BAC sin(�BAC  B) 3 tan �BAC � cos 2 B  sin 2 B ,根据正弦函数的值域即可求解 tan �BAC � cos 2 B 的最 2 大值. 【解析二】如图,由已知,设 BD  x, 则 AD  x, CD  x 2, 3x b 2  , 在△ABC 中,由正弦定理可得: sin �BAC sin B x b 2  . 在△ACD 中,由正弦定理可得: sin(�BAC  B ) sin 2 B 3x x x � sin B � 2sin B cos B � 2sin B cos B 2 2 2  = 所以 sin �BAC sin(�BAC  B) sin �BAC cos B  cos �BAC sin B 3 3 tan �BAC � cos 2 B  sin 2 B � 化简可得: tan �BAC � cos B  3sin B ,可得: 2 2. 3 可得 tan �BAC � cos B 的最大值为 2 . 2 【分析三】注 意到三角形 ABD 是等腰三角形，联想 所求，作底边 AB 上的高，过 C 作 AB 上的高，“化斜为直”，充分运用“平几”知识解题. 【解析三】如下图，分别过 D、C 作 AB 边上的高 DE、CF，故 DE∥CF 在△ABD 中，由三线合一知 BE=AE 由 DE∥CF，BD=2CD 得 BF=2AF， DE：CF=2：3 3 DE CF 2 tan �BAC    3 tan B AF 1 BE 所以 ， 2 所 以 3 3  tan �BAC � cos 2 B  3 tan B cos 2 B  sin 2 B � B 2 2 （当 4 时，“=”成立）. 例2 （2020·盐城市高三第四次模拟考试·13）在△ABC 中，AB＝10，AC＝15，∠A 的平 uuur uuur uuur uuur AB � AD AB � AE 的值 分线与边 BC 的交点为 D，点 E 为边 BC 的中点，若 ＝90，则 是 ． 175 【答案】 2 【分析】基底法，由于已知 AB，AC 的长度，应考虑以 uuu r uuur AB、 AC 为基底.本题的关键是将向 uuu r uuur uuur AB、 AC AD 量 如何用基底向量 线性表示？——利用三角形内角平分线性质定理为最 CD 简途径，易求得 BD  AC 3  AB 2 ，用“爪形”结构即可. AC CD 3   【解析】由角平分线定理可知 AB BD 2 uuur 2 uuur 3 uuu r AD  AC  AB 在△ABC 中，由“爪形”结构得： 5 5 ∵ uuu r uuur AB � AD  90 uuu r 2 uuur 3 uuu r 3 uuur2 2 uuur uuur uuur uuu r AB � ( AC  AB)  AB  AC � AB ∴ ，求得 AC � AB  75 5 5 5 5 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur2 1 uuur uuur 175 AB � AE  AB � ( AB  AC )  AB  AB � AC  ∴ 2 2 2 2 ． 例3 （2020·苏州大学·考前指导卷·14）已知 D 是 △ ABC 边 AC 上一点，且 CD  3 AD ， BD  2 ， 【答案】 16 5 5 cos �ABC  1 4 ，则 3AB  BC 的最大值为 ． 【解析一】设 AD  t ，则 CD  3t ， AC  4t ， 在 △ ABD 中， cos �ADB  在 △ BDC 中， t 2  ( 2) 2  c 2 cos �BDC  2 2t ， (3t )2  ( 2) 2  a 2 2 2� 3t ， 又 cos �ADB   cos �BDC ， t 2  ( 2) 2  c 2 (3t ) 2  ( 2) 2  a 2  2 2 2 2 2t 2 2� 3t 所以 ，解得 12t  3c  a  8 ，① 2 2 2 2 在 △ ABC 中， AC  (4t )  a  c  2ac cos B ，即 1 16t 2  a 2  c 2  ac 2 ，② 3 a 2  9c 2  ac  32 2 由①②可得 ． 3 3 a  3c 2 5 32  (a  3c) 2  a(3c)≥ (a  3c) 2  �( )  ( a  3c) 2 2 2 2 8 所以 ， 即 (a  3c) 2 ≤ 8 �32 16 5 a  3c ≤ 5 ， 5 ，所以 当且仅当 a  3c ，即 a 8 5 8 5 ,c  5 15 时等号成立， 16 5 所以 3AB  BC 的最大值为 5 ． uuur uuur uuu r uuur uuur uuur BD  BC  3( BA  BD ) ， CD  3 DA CD  3 AD 【解析二】因为 ，所以 ，即 uuur 3 uuu r 1 uuur uuur 2 9 uuu r 2 1 uuur 2 3 uuu r uuur BC ， 整理得到 BD  BA  BC ，两边平方后有 BD  BA  BC  BA � 4 4 16 16 8 所以 2  r 2 1 uuur 2 3 uuu r uuur r 2 1 uuur 2 9 uuu 9 uuu BA  BC‫ ״‬ BA� BC 即 2  BA  BC 16 16 8 16 16 r uuur 1 3 uuu | BA | | BC | ， 8 4 uuu r 2 uuur 2 3 uuu r uuur | BC | ， 整理得到 32  9 | BA |  | BC |  | BA | � 2 3 9 uuu r uuur 32  9c 2  a 2  ac  (3c  a) 2  ac 2 2 ， 设 c | BA | ，a | BC | ，所以 因为 9ac 3 � 3a � c 3 3c  a 2  ≤ ( ) ， 2 2 2 2 9 3 5 2 2 2 2 所以 32  (3c  a)  ac≥ (3c  a )  (3c  a )  (3c  a ) ， 2 8 8 3c  a ≤ 8 �32 16 5 8 5 8 5  a ，c  5 5 ，当且仅当 5 15 时等号成立， 16 5 所以 3AB  BC 的最大值为 5 ． 例 4 （ 2020· 南 通 四 调 ·14 ） 已 知 点 G 是 △ ABC 的 重 心 ， 且 GA⊥GC ， 若 1 1  1 ，则 tanB 的值为 tan A tan C 【答案】 ． 1 2 【分析】由已知中的垂直条件想建系设点，角的关系转化为边的关系，利用余弦定理求 cosB. 【解析】建立如图所示直角坐标系（其中 G 是坐标原点），设 A（0，n），C（m，0）， 则 B（－m，－n） 1 1 cos A cos C cos A sin C  cos C sin A 1  1  1 将 tan A tan C 切化弦得： sin A sin C ，即 ， sin A sin C 故 sin A sin C  sin B 2 2 2 2 2 2 BA2  BC 2  AC 2  m  4n    4m  n    m  n   又由余弦定理得 cos B  2 BA � BC 2 BA � BC 4  m2  n2  2 AC 2 2sin 2 B    2 BA � BC BA � BC sin A � sin C 所以 cos B  2sin 2 B 1  2sin B tan B  . ，故 sin B 2 [强化训练]  2 1.（2020·南京三模·14）在△ABC 中，∠A＝ 3 ，D 是 BC 的中点．若 AD≤ 2 BC，则 sinBsinC