高三数学选填专题练习 选填专练（7） 难度评估：中等 测试时间：40 分钟 一、单选题(共 60 分) 1．(本题 5 分)在三个复数 z1  a  i ， z2  a  1  i 2 a  1 ， z3  a  2a  ( a  1)i 中，有且仅有一 个纯虚数，则实数 a 为 A．0 或 2 B．0 2．(本题 5 分)设集合 A   1, 2,3 ， A．{1，2} C．1   ，则 A I B  x 3x  4 B．{2，3} B． 2， 0 B C．{1，3} 3．(本题 5 分)已知函数 1 0 A． 　， 2 D．2 D．{1，2，3} ,则函数 C． 1 2 的零点为 D． 0 uuur uuur uuur uuur OC  OB  �  AB  AD   （ 4．(本题 5 分)已知正方形 ABCD 的中心为 O ，且边长为 1，则  ）  2 A．-1 B． C．1 D． 2  � � 2 � � sin �   � sin �  2 � 5．(本题 5 分)已知 �3 � 3 ，则 �6 �（ ） 1 B． 9 1 A． 9 6．(本题 5 分)在 cos C  A． 1 � C． 9  ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为  8 D． 9 a , b, c ，若 sin A  3sin B ， c 5 ，且 5 ，则 a  6 2 2 B． 3 2 C．3 D．4 7．(本题 5 分)我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种 花纹，构成种类繁多的精美图案.如图所示的窗棂图案，是将边长为 2R 的正方形的内切圆 六等分，分别以各等分点为圆心，以 R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形.若在正 方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为 A． 1 3 3   3 3  B． 2 4 C． 2 3 3   3  D． 2 4 8．(本题 5 分)如图所示，四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AD  AB ， �BAD  �BDC  90�， 将 △ ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD  平面 BCD ，构成四面体 A  BCD ，则在四面体 A  BCD 中，下列说法不正确的是（ ）． A．直线 BC ⊥ 直线 AD B．直线 CD  直线 AB C．直线 CD  平面 ABD D．平面 ACD  平面 ABD 2 x y2  1 2 2 2 9．(本题 5 分)已知双曲线 a 2 b 2 的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，过 F1 作圆 x  y  a 的 切线分别交双曲线的左、右两支于 B ， C ，且 BC  CF2 ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． C． y  �3 x B． y  �( 3  1) x D． y  �2 2 x y  �( 3  1) x 10．(本题 5 分) M ， N 分别为菱形 ABCD 的边 BC ， CD 的中点，将菱形沿对角线 AC 折起， 使点 D 不在平面 ABC 内，则在翻折过程中，下列选项错误的个数是（ ） ① 异面直线 AC 与 MN 所成的角为定值； ② MN // 平面 ABD ； �� 0, � � ③ 若存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直，则 �ABC 的取值范围是 � 2 �； A．0 B．1 C．2 D．3 11．(本题 5 分)数列  cn  满足 则 n 的最大值是（ 2n 1 999 T  (2n 1  2)(2 n 1  1) ，其前 n 项和为 Tn ，若 n 1000 成立， ） A．8 12．(本题 5 分)已知 cn  B．9 f  x 是定义域为 C．10  0, � D．11 的单调函数，若对任意的 x � 0, � ，都有 � � f �f  x   log 1 x � 4 3 2 ，且方程 f  x   3  x  6 x  9 x  4  a 在区间  0,3 上有两解，则实数 3 � � a 的取值范围是 A． 0  a �5 B． a  5 二、填空题(共 20 分) 13．(本题 5 分)已知向量 v v a  (1, 2), b  (m, 4) C． 0  a  5 ，若 r r ab ，则 D． a �5 m _____. 14．(本题 5 分)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画， 体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁 表面光滑，忽略杯壁厚度），如图 2 所示.已知球的半径为 R ，酒杯内壁表面积为 14  R 2 .设 3 V1 酒杯上部分（圆柱）的体积为 V1 ，下部分（半球）的体积为 V2 ，则 V2 的值是__________. 15．(本题 5 分)已知直线 l：y   x  1 与 x 轴交于点 A ，将线段 OA 的 n 等分点从左至右 依次记为 P1 , P2 ,L , Pn 1 Q1 , Q2 ,L , Qn 1 Qn 1 Pn 1 Pn  2 x l ，过这些分点分别作 轴的垂线，与直线 的交点依次为 ，从而得到 n 1 个直角三角形△ ，若这些三角形的面积之和为 Sn Q1OP1 ，△ Q2 PP 1 2 ， L ，△ lim Sn  ____________． ，则 n �� x2 y2  1 (a  0, b  0) 的左、右焦点，以线段 F1 F2 为直 16．(本题 5 分)若 F1 ， F2 为双曲线 a 2 b 2 径作圆在 x 轴上方交双曲线于 A, B 两点，若以线段 AB 为直径作圆恰好经过双曲线的两个顶 点，则双曲线的离心率为__________． 参考答案 1．D 【分析】 分别假设 z1 , z2 , z3 a 为纯虚数，分析可得 的值． 【详解】 若 z1 为纯虚数，则 a0 ， z3 也为纯虚数，不符合题意； a �1 ， z2 显然不为纯虚数，故 z3 为纯虚数， a  2 ，故选 D． 2．B 【详解】 x 分析：将集合 A 中的元素一一代入 3  4 验证，即可求解． 详解：易知： 31  4，32  4，33  4 则 A I B  {2,3} ． 3．D 【详解】 试题分析：当 综上 时，由 得 ；当 时，由 的零点只有一个且为 0 4．C 【分析】 运用三角形法则和平行四边形法则将式子化简,再利用数量积公式求解即可. 得 ， 【详解】 在正方形 ABCD ,有 AC  2 , uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur   OC  OB �AB  AD  BC � AC  AD � AC  AD �AC � cos  1 , 4    故选:C. 5．B 【分析】 2 � � cos � 2  � 3 �，再由诱导公式可得． � 由余弦的二倍角公式求得 【详解】 2 2 � � � �2 � 1 2� cos � 2    � 1  2 �� � � 1  2sin � 由题意 3 � � � 3� �3 � 9 ， 2 � � �� � � � � � 1 cos � 2  2  � �  sin � 2  � sin � 2  �  � cos � � � 3 � 6 � 2� 6 �，∴ � 又 6� 9． � � � � 故选：B． 6．C 【详解】 由正弦定理结合题意有： a  3b ，不妨设 结合余弦定理有： cos C  b  m, a  3m  m  0  a 2  b 2  c 2 9m2  m2  5 5   2ab 6m 2 6， 求解关于实数 m 的方程可得： m  1 ，则： a  3m  3 . 故选：C. 7．B 【分析】 ， 由题意知，阴影部分是由 12 个全等的弓形组成的.求出阴影部分的面积，利用几何概型的 概率公式计算概率. 【详解】 B O ，得等边三角形 OAB ，边长为 1，如图所示 连接 A、、 则阴影部分的面积为 S 阴影 1 �1 �  12 �� � R 2  �R 2 �sin 60�� (2  3 3) R 2 ， 6 2 � � S阴 故所求概率为 (2 R) 2  (2  3 3) R 2  3 3   4R2 2 4 . 故选：B. 8．A 【解析】 ∵平面 ABD  平面 ∴ CD  平面 ABD BCD ．∴ ，平面 ABD �平面 CD  AB ，且平面 BCD  BD ， ACD  平面 ABD CD �平面 BCD 且 CD  BD ， ．所以 B ， C ， D 正确，故选 A ． 9．D 【分析】 a 直线 BC 的斜率为 b ，计算 BF2  4a ， F1 F2  2c ，利用余弦定理得到 b 2  2ab  2a 2  0 ， 化简知 b  1  3 ，得到答案 a 【详解】 由题意知直线 BC 的斜率为 由双曲线定义知 由余弦定理： b a ， cos �CF1 F2  ，又 BC  CF2 ， b c CF1  CF2  CF1  BC  BF1  2a cos �BF1 F2  ， BF2  4 a ， F1 F2  2c . 4a 2  4c 2  16a 2 b  2 �2a �2c c ， c 2  3a 2  2ab ， 2 2 即 b  2ab  2a  0 ， 2 �b � �b � b � 2 � � 2  0 ，解得  1  3 . 即� a a �� �� a 故双曲线渐近线的方程为   y  � 3 1 x . 故选：D 10．A