练习 5 三角函数（一） ×× 一、单选题． 1．已知扇形的圆心角为 3 弧度，弧长为 6cm，则扇形的面积为（ A．2 B．3 C．6 D．12 sin(a  3π)  cos(π) a tan 5π    m   2．设 ，则 sin(  a)  cos(π) a 的值等于（ m 1 A． m  1 m 1 B． m  1 C． 1 � π� π 3 cos �x  � sin(  x )  3．已知 � 6 �等于（ 3 5 ，则 3 A． 5 4 B． 5 ） D． 1 ） 3 C． 5  4 D． 5  sin  cos  1   ,  �(0,π) 2 2 4．已知 sin   cos  ，则 tan(π)  的值为（ 2 A．1 2 B． 2 C． 1 二、多选题． 5．下列说法正确的是（ ） A．终边在 y 轴上的角的集合为 { |   ） π  2π} k , k �Z 2 ） 2 D．  2 cm 2 ． � π� x �� 0, � B． � 2 �，则 sin x  x  tan x C．三角形的内角必是第一或第二象限角  D．若  是第二象限角，则 2 是第一或第三象限角 6．已知角  的终边经过点  A． 2 3a  9, a  2  B．2 ，且 sin   0 ， cos  �0 ，则 a 的取值可以是（ C．3 ） D．4 三、填空题． 7．如图所示，一圆形钟的时针长 5cm ， 2021 年 11 月 9 日上午 7 : 00 至 11: 00 ，时针的针头自点 A 处转动到点 8．已知 B 处，则线段 tan    AB 的长为_________． 1 1  2sin a cos  2 ，则 sin 2   cos 2  的值是________． � π1� � 5π � �π � sin �x  � sin �x  � sin 2 �  x � 9．已知 � 6 � 3 ，则 � 6 � 的值为______． �3 � 10．设 sin  ， cos  是 4 x 2  2ax  a  0 a 的两根，则 的值为_________． 11．圆心在原点，半径为 10 的圆上的两个动点 M、N 同时从点 P  10, 0  出发，沿圆周运动，点 π π M 按逆时针方向旋转，速度为 6 弧度/秒，点 N 按顺时针方向旋转，速度为 3 弧度/秒，则它们 出发________秒后第三次相遇；相遇时点 M 转过的弧度数为________． 12．函数 y  sin x  cos x  3cos x sin x 的最大值是________，最小值是________． 四、解答题． 13．已知 sin   cos   1 2． cos  的值； （1）求 sin  � π 1 1   π  （2）若 2 ，求 sin  cos  的值． 3 � � sin(  3π) � cos(2π)sinπ  � �  � 2 � � 14．已知 f ( )  ． cos(π)  sin(π)  �   （1）化简 f ( ) ； � 3 �1 sinπ�   （2）若  为第四象限角且 � 2 � � 5 ，求 f ( ) 的值； （3）若   31 π 3 ，求 f ( ) ． sin   3cos   2 15．已知 sin   cos  ． （1）求 sin 2   sin  cos   1 （2）求 sin   cos  的值． 的值； 参考答案 一、单选题． 1．【答案】C 【解析】因为扇形的圆心角为 3 弧度，弧长为 6cm， 所以其所在圆的半径为 r 6 2 ， 3 1 1 S  lr  �6 �2  6cm 2 因此该扇形的面积是 ，故选 C． 2 2 2．【答案】A 【解析】因为 tan  5πtan     m ，  sin   cos   tan   1  m  1 m  1    所以原式  sin   cos   tan   1 m  1 m  1 ，故选 A．  3．【答案】A π π 3  x  x   sin   【解析】设 3 ，则 ，则 3 5， ππ ππ 3 cos( x  )  cos(    )  cos(   )  sin   则 6 3 6 2 5 ，故选 A． 4．【答案】A sin  cos  tan  1   2 2 2 【解析】因为 sin   cos  tan   1 2 ，所以 tan   1 ， 所以 tanπtan     1   ，故选 A． 二、多选题． 5．【答案】BD 【解析】选项 A，轴线角的写法，y 轴正半轴 { |   π π  2π} k , k �Z { |π,   }k k �Z ，y 轴 ， 2 2 所以不正确； 选项 B，可以利用三角函数线围成面积的大小来比较大小， S△△OMA  S扇形OMA  S OAT ，所以 sin x  x  tan x ，故正确； 选项 C，角为 90�时不在第一也不在第二象限； 选项 D 中  是第二象限角， { | π  2ππ2π, k    } k k �Z ， 2  π  π { |ππ, k }   k k �Z 所以 2 4 ， 2 2  当 k  0,1, 2,3 可判断 2 是第一或第三象限角， 故选 BD． 6．【答案】BC 【解析】∵ sin   0 ， cos  �0 ，∴  位于第二象限或 y 轴正半轴上， ∴ 3a  9 �0 且 a  2  0 ， ∴ 2  a �3 ，故选 BC． 三、填空题． 7．【答案】 5 3cm 【解析】 2021 年 11 月 9 日上午 7 : 00 至 11: 00 ，时针的针头自点 A 处转动到点 B 处， 4 2π π �2π  AB  10sin  5 3  cm  则时针转过的弧度数为 12 ， 3 ，故 3 故答案为 5 3cm ． 1 8．【答案】 3  【解析】因 tan    1 2， 1  2sin a cos  sin 2   cos 2   2sin a cos  (sin   cos  ) 2   则 sin 2   cos 2  sin 2   cos 2  (sin   cos  )(sin   cos  ) 1  1 sin   cos  tan   1 1    2  sin   cos  tan   1  1  1 3， 2 1 故答案为 3 ．  5 9．【答案】 9 � 5πππ1 � � � sin �x  � sinπsin x   �  � 【解析】因为 � 6 � � 6 � � � �x  �  ， � 6� 3 � �πππππ1 � 8 � � � � � � � sin 2 �  x � sin 2 �  �x  �  cos 2 �x  � 1  sin 2 �x  � 1   � 9 9， �3 � � 6� � 6� �2 � 6 � � 5 � 5ππ1 � 8 � � sin �x  � sin 2 �  x �    所以 � 6 � �3 � 3 9 9， 5 故答案为 9 ． 10．【答案】 1  5 � �Δa 4 2 a16 �0 � a � sin   cos    � 【解析】依题意可得 � 2， a � sin  � cos   � � 4 由 由 4a 2  16a �0 ，得 sin   cos    a �0 或 a �4 ； a a a a2 sin  � cos   1 2�  2和 4 ，得 4 4 ， 2 a  1 5 a  1 5 即 a  2 a  4  0 ，解得 或 ， 因为 所以 0  1 5  4 a  1 5 故答案为 ，所以 a  1 5 应舍去， ， 1 5 ． 11．【答案】12， 2π 【解析】设从点 P  10, 0  出发 t 秒后点 M、N 第三次相遇， ππ t  t  6π 则它们转过的弧度之和为 6π （3 个圆周），于是有 6 ，解得 t  12 ， 3 π �12  2π 此时点 M 转过了 6 （弧度）， 故答案为 12 ， 2π ． 3 5  2  12．【答案】 2 ， 3 �  2, 2 � 【解析】令 t  sin x  cos x ，则 t �� �， ∵ (sin x  cos x ) 2  2sin x cos x  1 ，∴ sin x cos x  t 2 1 2 ， 3 3 y  t2  t  t ��  2, 2 � ∴ �， 2 2， � 1 t   ��  2, 2 � �， ∵对称轴 3 � 1 3 1 1 3 5 ymin  f ( )  �     ymax  f ∴ 3 2 9 3 2 3，  2   32  2 ， 3 5  2  故函数的最大值与最小值分别为 2 ， 3． 四、解答题． 3 4 7 13．【答案】（1） 8 ；（2） 3 ．  2 �1 � 1 2 � 【解析】（1）将 sin  cos  ，两边平方得 (sin  cos )  � �2 �， 2 即 1  2sin cos  1 3 sin cos   4 ，则 8．  cos  sin  （2）因为 2 � 3� 7  1  2sin cos  1  2 ��  � �8� 4 ， 所以 cos