函数与导数 一、单选题 1．雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球 表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离 L  R  h1  2  R2  天线架设高度， h2  R  h2  2  R 2  2 Rh1  h12  2 Rh2  h22 （如图），其中 h1 为雷达 为探测目标高度，R 为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因 素，R 等效取 8490km，故 R 远大于 h1 ， h2 ．假设某探测目标高度为 25m，为保护航母 的安全，须在直视距离 412km 外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度 至少约为（ ） （参考数据： 2 �8.49 �4.12 A．6400m ） B．8100m C．9100m D．10000m 2．已知函数 �ln x , x  0 f ( x)  � 2 3x  x, x �0 ，若函数 g  x   f  x   m  m �R  有三个不同的零点 � x1 , x2 , x3 x1 x2 x3 ．则 A．0 3．已知幂函数 的值为（ B．  f ( x )  x 和 ） 1 3 g ( x)  x  C．0 或  ，其中   0 1 3 D．0 或  ，则有下列说法： 1 6 ① ② f ( x) f ( x) 和 和 g ( x) g ( x) 图象都过点 图象都过点  1,1 ； (1,1) ； ③ 在区间 [1, �) 上，增长速度更快的是 f ( x) ； ④ 在区间 [1, �) 上，增长速度更快的是 g ( x) . 则其中正确命题的序号是（ A．①③ ） B．②③ C．①④ D．②④ 4．桥梁由于自身结构的优势占地要比路基工程少，所以在平原区的高铁设计中大量采 用桥梁代替普速铁路中常见的路基工程.在低桩承台对称竖直桩桩基基础刚度计算及有 限元模拟中常用到三个公式 Fc  cc hc c h3 c h2 Sc  c c Ic  c c c 2 ， 6 ， 12 ：其中 F c ， S ， I c —— cc c 分别为承台地面以上水平方向地基系数 的图形面积和对底面的面积矩和惯性矩； ——承台底面处水平土的地基系数； 设计某一桥梁时，已知 A． 3.8 �10 8 I c  2.0 �108 B． 2.4 �10 5．已知定义在 R 上的函数 的解集为（ A． ， ——承台底面埋人地面或局部冲刷下的深度.在 cc  300 6 ，则 Sc  （ C． 2.0 �10 满足 f  x  f �  x  0 ） 6 ，且有 8 D．1.2 �10 f  3  3 B． f  x  1  1, � 是偶函数，当 C． 1  x1  x2  �, 3 f  x   3e3 x B． c  b  a D．  �,1 �f  x   f  x2  �  x1  x2   0 恒成立， � 时， � 1 �1� a    f �  � � 2 �， b  f  2  ， c  f  3 ，则 a ， b ， c 的大小关系为（ 设 A． b  a  c ，则 ）  3, � 6．已知函数 f  x hc C． b  c  a ） D． a  b  c 7．已知定义在 2 f  x  e A． C． 1 x 2 1 1  x   0 ，且有 f  1  ，则 上的函数 f  x  满足 f  x   f � 2 2 R 的解集为（ ）  �, 2  �,1 8．已知 3a  5b  15 B．  1, � D．  2, � ，则下列选项错误的是（ ） A． a  b  2ab B． ab  1 C． log 2 a  log 2 b  0 � 1� � 1� 1 a  � � b  � D． � � 2� � 2� 2 2 9．函数 f  x    x  1 ln x A．0 10．函数 的图象与直线 B．1 f  x  y  x 1 关于 x 轴对称的点的个数为（ C．2 1  x2 ln  2  x   ln  2  x  的大致图象是（ A． B． C． D． A． b  a  c 二、填空题 1 e B． c  b  a ） D．3 ） b   1 e 3 11．已知 a  3 2 ， ， c  4 ，则 a，b，c 的大小关系为（ 1 2 1 C． c  a  b ）． D． a  b  c �x  2, x  1 f  x   �x 2 3 , x �1 ，若 f  a  4   3 f  a  1 ，则实数 a 的取值范围是___ 12．已知函数 � ________. 13．若曲线 y  ax 3  ln x 在点 (1, a ) a 2 ___________. 处的切线斜率为 ，则 14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ① ② y  f  x  1 f  x 在 f  x  ______． 为奇函数；  0, � 上单调递减； �x  x � f  x1   f  x2  f �1 2 � 0  x  x 2 ③当 ． � 2 � 1 2 时， 15．曲线 f  x   x3  x 16．若函数 总有 f ( x) 在点（2，6）处的切线方程为_______． 同时满足：（i） f ( x) 为偶函数；（ii）对任意 x1 , x2 �[0, �) 且 x1 �x2 ，  x1  x2  � �f  x1   f  x2  � � 0 ；（iii）定义域为 R ，值域为 [1,1) ，则称函数 f  x  具有性质 P ，现有 4 个函数：① y | x | 1 x2 1 2x 1 1  x2 y  y  y | x | 1 ，② 1  x 2 ，③ x 2  1 ，④ 2x  1 ， 其中具有性质 P 的是___________（填上所有满足条件的序号）. 三、解答题 ax e 17．已知函数 f  x   x ， g  x   （1）试讨论函数 f  x ln x  2 x  1 ，其中 a �R . x 的单调性； （2）若 a  2 ，证明： xf ( x) �g ( x) . 18．已知函数 f ( x)  ln x  （1）试讨论函数 f  x a x ， ，其中 a �R . x g ( x)  e  sin x 的单调性； （2）若 a  1 ，证明： f ( x)  19．已知函数 （1）判断 f  x    x  1 e x  x f  x （2）证明： g ( x) . x . 的单调性. 2 f  x  �ex 3  ex 2   e  2  x  e 20．已知函数 f ( x)  x 2  1  a ln x . . （1）讨论 f ( x) 的零点个数； （2）当 a  0 时，设 x1  1 x 1  x0  1 2 2 . f ( x) 的极值点为 x0 ，一个零点为 x1  x1  1 ，证明： 参考答案 1—5  CDADA， 6—10  DDACA 11 D 12．  1, 2  13． 1 3 14．  x  1 （答案不唯一） 15． 11x  y  16  0 16．① ③ 17． （1）答案见解析； （2）证明见解析. （1） 式 f  x 的定义域为 f�  x  0 （2） g  x 和 (�, 0) U (0, �) f�  x  0 的定义域为 ，求出 f�  x ，分别讨论 a  0 ， a  0 ， a  0 时不等 的解集即可得单调递增区间和单调递减区间，即可求解；  0, � ，不等式等价于 xe 2x �ln x  2 x  1 ， eln x  2 x �ln x  2 x  1 ， t h  t   et  t  1 t  ln x  2 x � R e � t  1 令 ，只需证 ，令 ，利用导数判断单调性和最值即可求 证. （1） f  x 由 的定义域为 f  x  (�, 0) U (0, �) ， ae � xe � 1 e ( ax  1) eax f�   x  2 x 可得： x x2 ， ax ax ax 1 1 0 x x f� x  0 f� x  0   x  0 a  0 a； a 当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 或 �1 � � 1� , �� 0, � � f x  � , 0  和� �上单调递增，在  � a �上单调递减： 此时   在 �a 1 当 a  0 时， f ( x)  x ，此时 f  x  在 (�, 0) 和 (0, �) 上单调递减； 1 1 当 a  0 时，令 f �  x   0 ，解得 x  a ，令 f �  x   0 ，解得 a  x  0 或 x  0 ， � 1� �1 � �, � � � ,0� f x   a �上单调递增，在 �a �和 (0, �) 上单调递减： 此时 在� �1 � � 1� , �� 0, � � � f x �上单调递增，在 (�, 0) 和 � a �上单调递减； 综上所述：当 a  0 时，   在 �a 当 a  0 时， f  x 在 (�, 0) 和 (0, �) 上单调递减； � 1� �1 � �, � � � ,0� f x 当 a 