第一章 空间向量与立体几何 期末复习 一、基础知识 1．空间向量及其有关概念：共线向量、共面向量定理、空间基本向量定理及推论 2．数量积及坐标运算 3．直线的方向向量与平面的法向量 4．空间位置关系的向量表示 5．两条异面直线所成角的求法 6．直线与平面所成角的求法 7．求二面角的大小 8．空间距离问题 二、精典题型 题型一　空间向量的线性运算 例 1　如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若AB＝ a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的是(　　) A．－a＋b＋c B． a＋b＋c C．－a－b＋c D．a－b＋c 跟踪训练 1．已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 为上底面 A1C1 的中心，若AE＝AA1＋xAB＋ yAD，则 x，y 的值分别为(　　) A．1,1　　　　　　　 B．1， C. ， D. ，1 2.如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点．试用 a，b，c 表示以下各向量： (1)AP； (2)A1N； (3)MP＋NC1. 题型二　共线、共面向量定理的应用 例 2　如图所示，已知斜三棱柱 ABC A1B1C1，点 M，N 分别在 AC1 和 BC 上，且满足AM＝kAC1，BN＝kBC(0≤k≤1)．判断向量MN是否 与向量AB，AA1共面． 例 3 若 A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则 m＋n＝________. 跟踪训练 1．已知 a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若 a∥b，则 λ 与 μ 的值可以是(　　) A．2， B．－， C．－3,2 D．2,2 2．已知 a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若 a，b，c 三向量共面，则实 数 λ 等于________． 题型三　空间向量数量积的应用 例 4　如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长 为 1 的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段 AC1 的长； (2)求异面直线 AC1 与 A1D 所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD. 跟踪训练 1.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的 三条棱长度都为 1，且两两夹角为 60°.求： (1)AC1的长； (2)BD1与AC夹角的余弦值． 题型四　利用空间向量证明平行或垂直 例 5 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧面 PAD⊥底面 ABCD，且 PA＝PD＝AD，设 E，F 分别为 PC，BD 的中 点． 求证：(1)EF∥平面 PAD； (2)平面 PAB⊥平面 PDC. 跟踪训练 1．如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD＝DC，E 是 PC 的中点，过点 E 作 EF⊥PB 于 点 F.求证： (1)PA∥平面 EDB； (2)PB⊥平面 EFD. 2．如图，在三棱锥 PABC 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，PO⊥平面 ABC，垂足 O 落在 线段 AD 上．已知 BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. (1)证明：AP⊥BC； (2)若点 M 是线段 AP 上一点，且 AM＝3.试证明平面 AMC⊥平面 BMC. 题型五　求异面直线所成的角 例 1 如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC＝120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点， BE⊥平面 ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (1)证明：平面 AEC⊥平面 AFC； (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值． 跟踪训练 1. 直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，A1C1 的中点，BC＝CA＝ CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 2. 如图，已知三棱柱 ABCA1B1C1，平面 A1ACC1⊥平面 ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝ 30°，A1A＝A1C＝AC，E，F 分别是 AC，A1B1 的中点． (1)证明：EF⊥BC； (2)求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值． 题型六　求直线与平面所成的角 例 2 如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把 △DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥BF. (1)证明：平面 PEF⊥平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值． 跟踪训练 1. 如图，在三棱锥 P－ABC 中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O 为 AC 的中点． (1)证明：PO⊥平面 ABC； (2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M－PA－C 为 30°，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值． 题型七　求二面角 例 3 如图 1，在高为 6 的等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 CD＝6，AB＝12，将它沿对称 轴 OO1 折起，使平面 ADO1O⊥平面 BCO1O.如图 2，点 P 为 BC 中点，点 E 在线段 AB 上 (不同于 A，B 两点)，连接 OE 并延长至点 Q，使 AQ∥OB. (1)证明：OD⊥平面 PAQ； (2)若 BE＝2AE，求二面角 C—BQ—A 的余弦值． 跟踪训练 � 1. 如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 CD 所在 � 平面垂直，M 是 CD 上异于 C，D 的点． (1)证明：平面 AMD⊥平面 BMC； (2)当三棱锥 M－ABC 体积最大时，求平面 MAB 与平面 MCD 所 成二面角的正弦值． 2. 如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝ 60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点． (1)证明：MN∥平面 C1DE； (2)求二面角 AMA1N 的正弦值． 题型八　空间角的探索性问题 例 4 如图，在直三棱柱 ABC  A1 B1C1 中， AB  BC  2 AA1  2 BC 的中点． （1）求证： A1 B // 平面 ADC1 ； （2）求二面角 C1  AD  C 的余弦值；  AB DC1 3 （3） 试问线段 1 1 上是否存在点 E ，使 AE 与 成 角？若存在，确定 E 点位置，若不存在，说明理由． ， �ABC   2 ，D是 跟踪训练 1.如图所示，等边三角形 ABC 的边长为 3，点 D，E 分别是边 AB，AC 上的点，且满足＝ ＝.将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使二面角 A1 DE B 为直二面角，连接 A1B，A1C. (1)求证：A1D⊥平面 BCED； (2)在线段 BC 上是否存在点 P，使直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60°？若存在，求出 PB 的长；若不存在，请说明理由． 第一章 空间向量与立体几何 期末复习答案 例1A 跟踪训练 1．C 2. 例2 65 例 3 3 跟踪训练 1．A 7 例4 跟踪训练 1. 例5 跟踪训练 1． 2． 例 1 (1)证明：如图，连接 BD，设 BD∩AC＝G，连接 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中，不 妨设 GB＝1.由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝. 由 BE⊥平面 ABCD，AB＝BC，可知 AE＝EC.又 AE⊥EC，所以 EG＝，且 EG⊥AC. 在 Rt△EBG 中，可得 BE＝，故 DF＝.在 Rt△FDG 中，可得 FG＝. 在直角梯形 BDFE 中，由 BD＝2，BE＝，DF＝，可得 EF＝. 从而 EG2＋FG2＝EF2，所以 EG⊥FG.又 AC∩FG＝G，所以 EG⊥平面 AFC. 因为 EG⊂平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 AFC. (2)如图，以 G 为坐标原点，分别以 度，建立空间直角坐标系 Gxyz. 的方向为 x 轴，y 轴正方向， 由(1)可得 A(0，－，0)，E(1,0，)，F，C(0，，0)， 所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为. 跟踪训练 为单位长 1. C 2. (1)证明：连接 A1E，因为 A1A＝A1C，E 是 AC 的中点，所以 A1E⊥AC. 又平面 A1ACC1⊥平面 ABC，A1E⊂平面 A1ACC1， 平面 A1ACC1∩平面 ABC＝AC，所以 A1E⊥平面 ABC. 如图，以点 E 为原点，分别以射线 EC，EA1 为 y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 Exyz. 不妨设 AC＝4，则 A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3,2)，F，C(0,2,0)． 因此，EF＝，BC＝(－，1,0)．由EF·BC＝0 得 EF⊥BC. (2)设直线 EF 与平面 A1BC 所成角为 θ. 由(1)可得BC＝(－，1,0)，A1C＝(0,2，－2)．设平面 A1BC 的法向量为 n＝(x，y，z)． 由得取 n＝(1, ，1)， 故 sin θ＝|cos〈EF，n〉|＝＝，∴cos θ＝. 因此，直线 EF 与平面 A1BC 所成的角的余弦值为. 题型六 例 2 (1)证明　由已知可得 BF⊥PF，BF⊥EF，PF∩EF＝ F，PF，EF⊂平面 PEF， 所以 BF⊥平面 PEF.又 BF⊂平面 ABFD，所以平面 PEF⊥平面 ABFD. (2)解　如图，作 PH⊥EF，垂足为 H.由(1)得，PH⊥平面 ABFD. 以 H 为坐标原点，HF的方向为 y 轴正方向，|BF|为单位长，建立如 图所示的空间直角坐标系 Hxyz. 由(1)可得，DE⊥PE.又 DP＝2，DE＝1，所以 PE＝. 又 PF＝1，EF＝2，所以 PE⊥PF.所以 PH＝，EH＝. 则 H(0，0，0)，P，D，DP＝，HP＝. 又HP为平面 ABFD 的法向量，设 DP 与平面 ABFD 所成的角为 θ， 则 sin θ＝|cos〈HP，DP〉|＝＝＝.所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦 值为. 跟踪训练 1. (1)证明：因为 PA＝PC＝AC＝4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP＝2. 如图，连接 OB. 因为 AB＝BC＝AC，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以 OB⊥AC，OB ＝AC