新高考地区必修第二册期末复习卷（2） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.  1 i 1．复数 1  i 2  A． 1  i （ ） B． 1  i C． 1  i D． 1  i 2．给定一组数据 5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据（ A．众数为 2 B．平均数为 2.5 C．方差为 1.6 uuur uuuuu r uuur uuur uuu r BD  2 DC AE  ED VABC BE  3．在 中， ， ，则 （ r 1 uuur 5 uuu A．  AC  AB 3 6 1 uuur 5 uuur B． AC  AB 3 6 r 1 uuur 1 uuu C．  AC  AB 3 6 r 1 uuur 1 uuu D． AC  AB 3 6 ） D．标准差为 4 ） 4．某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则 下列说法一定正确的是（ ） A．甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数 B．甲班平均成绩高于乙班平均成绩 C．甲班学生比乙班学生发挥稳定 5．在 VABC 中，角 A VABC 解的个数为（ A． 0 B ， ， C D．甲班不及格率高于乙班不及格率 B  60� b  6 c2 a b c 的对边分别是 ， ， ，若 ， ， ，则 ） B． 1 C． 2 D．不确定 6．从分别写有 1, 2, 3, 4,5 的 5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一 张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A． 1 10 B． 3 5 C． 3 10 D． 2 5 7．阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为 满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四 周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球 的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为 12 ，则该 模型中球的体积为（ A． 8 ） B． 4 8．如图，在正方体 ABCD  A1B1C1D1 则下列说法错误的是（ A．直线 BD1  C．三棱锥 D．平面 平面 P 中，点 为线段 B1C 上一动点， ） A1C1 D P  A1DC1 A1C1 D 8 2  D． 3 8  C． 3 B．异面直线 B1C 与 A1C1 所成角为 45� 的体积为定值 与底面 ABCD 的交线平行于 A1C1 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分﹒ 9．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） ur ur ur ur e1  (0,0), e2  (1, 2) e1  ( 1, 2), e2  (5,7) A． B． ur ur C． e1  (3,5), e2  (6,10) ur uu r 1 3 D． e1  (2,3), e2  ( , ) 2 4 10．从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋中任取 2 个小球，则下列结论正确的是（ A．“至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件 B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件 C．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件 D．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件 1 3 11．已知复数    2  2 i ，其中 是虚数单位，则下列结论正确的是（ i ） ） 3 A．   1 B．  2 的虚部为  2 C．  3  1 1 D．  在复平面内对应的点在第四象限 12．如图，AC 为圆 O 的直径， �PCA  45�，PA 垂直于圆 O 所在的平面， B 为圆周上不与点 A，C 重合的点， AS  PC 于 S， AN  PB 于 N，则 下列选项正确的是（ ） A．平面 ANS  平面 PBC B．平面 ANS  平面 PAB C．平面 PAB  平面 PBC D．平面 ABC  平面 PAC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上﹒ uuu v A  1, 1 B  2,3 AB 13．已知点 ， ， 则与向量 方向相同的单位向量为_________. 14．在 VABC 中，内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，若 a 2  b 2  3bc ， sin C  2 3 sin B ， 则 A  ____. 15．袋中有 2 个黑球，3 个白球，现从中任取两个球，则取出的两个球中至少有 1 个黑球的 概率为__________. 16．在三棱锥 P  ABC 中，面 PAB   面 ABC ， PA  PB  AB  AC  2, �BAC  2 ，则该三 棱锥外接球的表面积为___________. 四、解答题：本题共 4 小题，共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图所示，在 VABC 中，已知 CA  3 ， CB  4 ， �ACB  60�， CH 为 AB 边上的高. （1）求 uuu r uuu r CA � AB ； （2）设 uuur uuu r uur CH  mCB  nCA ，其中 m ， n �R ，求 mn 的值. 18．某校两个班级 100 名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩 分组区如下表： 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] （1）求频率表分布直方图中 a 的值； （2）根据频率表分布直方图，估计这 100 名学生这次考试成绩的平均分； （3）现用分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取 6 名学生，将该样本看成一个总体， 从中随机抽取 2 名，求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率. 19．如图，在三棱柱 ABC  A1B1C1 中，平面 ACC1 A1  平面 ABC , AC  BC , AC  BC  CC1  4. （1）证明：平面 A1 BC  平面 AB1C1 ； 2 A B AB C （2）若 1 1 与平面 1 1 所成角的正弦值为 4 ，求二面角 A1  AC  B1 的余弦值. 20．如图所示，某地有一块空地△OAB，其中 OA=300 米，∠AOB=90°，∠OAM=60°.当地 政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中 M，N 都 在边 AB 上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM 地带上形成假山，剩下的△OBN 地 带开设儿童游乐场.为安全起见，需在△OAN 的周围安装防护网. （1）当 AM=150 米时，求防护网的总长度； （2）若∠AOM=15°，此时人工湖用地△OMN 的面积是堆假山用地△OAM 的面积的多少倍？ （3）为节省投入资金，人工湖△OMN 的面积要尽可能小，问如何计施工方案，可使 △OMN 的面积最小？最小面积是多少？ 新高考地区必修第二册期末复习卷（2）答案 1．【答案】B  1 i 解析：复数 1  i 2  1  2i  i 2 2i(1  i) 2  2i    1  i .故选：B 1 i (1  i)(1  i) 2 2．【答案】C 解析：由题中数据可得，这组数据众数为 2 和 3，故 A 选项错误， 数据为 5，5，4，3，3，3，2，2，2，1， 平均数为 x  2 方差 s  55� � �  2 1 3 ，故 B 选项错误， 10 [(5  3)2  (5  3)2  � � �  (2  3)2  (1  3) 2 ]  1.6 ，标准差为 1.6 �4 ，故 C 选项正确， D 选 10 项错误．故选： C ． 3．【答案】B uuu r uuur uuu r 1 uuur uuu r 1 uuur uuur uuu r 解析： BE  AE  AB  2 AD  AB  2 AC  CD  AB   r � uuu r 1� uuur 1 uuu r uuur � uuu r 1 �2 uuur 1 uuu r � uuu r 1 uuur 5 uuu r 1 �uuur 1 uuu  �AC  CB � AB  � AC  AB  AC � AB  � AC  AB � AB  AC  AB 2 �3 3 3 6 2� 3 2� 3 � � � ，   故选：B. 4．【答案】D 解析： A ：因为每个班的总人数不确定，故无法比较； B ：甲班及格人数占比 80% ，乙班及格人数占比 90% ， 故甲班平均成绩显然高于乙班平均成绩； C D ：无法确定甲班和乙班学生成绩的方差，故错误； ：甲班不及格率为 20% ，乙班不及格率为 10% ，故 D 正确. 故选： D . 5．【答案】B 解析：由正弦定理得 c  b � sin C  c sin B  sin C sin B b 3 2  2， 2 6 2� 由于 b  c 所以 C 为锐角，所以 C  45�，故三角形有唯一解.故选：B. 6．【答案】D 解析：从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张， 基本事件总数 n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件 有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1）， （5，2），（5，3），（5，4），共有 m=10 个基本事件， 10 2 ∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率 p= 25  5 . 故答案为 D． 7．【答案】D 2 解析：由题意球的表面积为  12 �3  8 ，即 4 r 2  8