函数与导数 一、单选题 3 2 1．动直线 分别与直线 y  2 x  1 ，曲线 y  x  ln x 相交于 A, B 两点，则 AB 的最小 l 2 值为（ ） 5 A． 10 5 5 B． 2．已知集合 （ A． C． A   x | y  ln  x  1  , B   x | x �a ，若 A U B  R ，则实数 a 的取值范围为 ）  1, � 3．已知函数 A． D． 5 C．1 B．  1, � C． B．  0, 4  D． A  {2, 1, 0,1,3, 4}, B   x | 2 x  2  1 A． 3 B． 4 A．  x1 , x2 , x3 x1  x2  x3 2 e 6．函数  1, 0  ，且 B． f  x   x �R  对称，则 A． 16 7．函数  �,1 ，则 ）  �,1 � 3, �  �, 0  � 4, � AI  � RB 的子集的个数为（ C． 15 ） D． 16 x  2m 2 ln(  x) 1 (m  0), g ( x)  ，设方程 f ( g ( x ))   0 的 3 个实根 3x 2 x m 5．已知函数 f ( x)  分别为 D． 1 1  log 1 ( x  1) f  m  2   x2  1 ，则不等式 2 的解集为（ 2 f  x   1,3 4．已知  �,1 满足 f  2022   ，则 2 e g  x1   2 g  x2   3g  x3  （ 3 e C．  f  x  6   f  x   2 f  3 的值可能为（ D． ，函数 y  f  x  1 ） 3 e 的图象关于点 ） B． 8 f  x   x 2  cos x  x sin x  1 C． 4 的图象大致为（ D．0 ） A． B． C． D． 8．在区间 y 2 �x ”的概率，则（ A． P1  P2  P2   0,1 上随机取两个数 x ， y ，记 P1 为事件“ x  y �1 ”的概率， P2 为事件“ 1 2 ） B． P1  1  P2 2 C． P1  1  P2 2 D． P1  1 2， 1 2 9．已知 a  log 0.3 2 ， A． c  a  b 10．设 a  log3 7 A． b  a  c b  20.1 ， c  0.52.1 ，则（ C． a  b  c B． b  a  c ， b  21.1 ， c  0.83.1 ） ，则（ B． c  b  a D． a  c  b ） C． c  a  b D． a  c  b sin 2 x, x  0 � f ( x)  �2 11．设 a �R ，函数 �x  4 x  7  4a, x �0 ，若 f ( x) 在区间   a, � 内恰有 5 个零 点，则 a 的取值范围是（ ） 7 � � 5 11 � 7 � � 5� � � ,2� �� , � ,2� �� 2, � � � 4 � � 2 4 � B． � 4 � � 2� A． � �3 7 � � 5 � 2, � , ��� �2 4 � � 2 � � 二、填空题 5 11 � �3 7 � � � , ��� , � 2 4 � D． C． �2 4 � � 3 ，则 f  x  在点  1, f  1  处的切线方程为___________. 2x 1 f  x  x 12．已知  ln x 13．已知函数 f ( x )  1 x (sin  x  1)  cos 2 (  0) ，若 f ( x) 在  2 ,3  内无零点，则  2 2 的取值范围是________. 14．已知函数 15．若函数 f  x f  x 16．已知函数 f  x   xe 2 x  ax （1）当 a  1 时，求函数 （2）若不等式 （1）求 （2）若 且 f�  x x1 �x2 为奇函数；（ii）定义域为 R ，值域为 ，总有  1,1 ； x1 f  x1   x2 f  x2   x1 f  x2   x2 f  x1  ，则 具有性质 P .写出一个具有性质 P 的函数___________. 三、解答题 17．已知 的极小值为 a，则 a 的值为______. 同时满足：（i） x1 , x2 � 0, � （iii）对任意 称函数 f  x   e x  a ln x f  x f  x  �ln x  1 . 的单调区间； 恒成立，求实数 a 的取值范围. f  x   sin 2 x  2 cos x, x �(0,  ) f  x . 的单调区间； g  x   f  x   2 cos x  m ln x 18．已知函数 f ( x)  （1）若 x  0 为 g  x 有且只有两个零点. x ln a  a sin x(a  0) ， f ' x 为 f  x  的导数.   ex f ' x （2）当 a  1 时， ，证明:当 m  0 时， 的零点，试讨论 f  x 在区间  0,   的零点的个数； f ( x)  mx( x  0) ，求实数 m 的取值范围. 2  cos x 参考答案 1．A 【分析】 当点 B 处的切线和直线 y  2x  1 平行时， AB 的值最小，结合导数和解析式求得点 B ，再 由点到直线距离公式即可求解. 【详解】 设点 A 是直线 y  2 x  1 上任意一点﹐点 是曲线 y  B 线和直线 y  2x 1 平行时，这两条平行线间的距离 3 2 x  ln x 上任意一点，当点 处的切 2 B AB 的值最小﹐ 因为直线 y  2 x  1 的斜率等于 2 ， 曲线 y  可得 3 2 1 x  ln x 的导数 y �  3 x  ，令 y�  2， 2 x 1 � 3 � AB  1, �， 或 x   (舍去)，故此时点 的坐标为 � min � 2� x 1 3 B 故选：A. 2．B 【分析】 由已知求得集合 A ,根据 A U B  R 即可求得结果. 【详解】 题可知   A  x y  ln  x  1   x x  1 所以由 A U B  R 得 a �1 . 故选:B. 3．B 【分析】 根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，进而解出不等式. 2 1  5 3 2  5 10 ， 【详解】 由题意知 f  x  f  x  Qy 的定义域为 R ， 1  x 2 1  log 1   x  1  f  x  2 ， f  x  是定义在 R 上的偶函数﹐ 1 , y  log 1 ( x  1) 0  上单调递增， x2  1 2 在  0, � 上单调递减， f  x  在  �， 1 1 Q f  1   ， f (m  2)   ， f (| m  2 |)  f  1 ， | m  2 | 1 ， m  3 或 m  1 . 2 2 故选：B 4．D 【分析】 解指数不等式求集合 B，根据集合的交补运算求 AI  � RB ，由所得集合中元素个数判断子 集的个数. 【详解】 由2 ∴ x 2  1 ，得： x  2 ， � R B  { x | x �2}, A �� R B  {2, 1, 0,1} ， 4 ∴其子集个数为 2  16 个. 故选：D. 5．B 【分析】 2 2 利用导数研究 g ( x) 的单调性、极值及区间值域，由题设可知 3 x  mx  2m  0 在 ( �, 0) U (0, �) 上必有两个不等的实根 t1 , t2 (假设 t1  t2 )且 t1   m, t2  2m ，结合 g ( x) 的性 3 2 2m  0且 质有   t2  g ( x1 )  g ( x2 ) ， t1  g ( x3 ) ，进而求目标式的值，即可确定答案. e 3 【详解】 2 ln( x) 2[1  ln( x)] ( x)  的定义域为 ( �, 0) ，且 g � ， x x2 由题设， g ( x)  ( x)  0 ，即 g ( x) 递减；当 x �( e, 0) 时， g � ( x )  0 ，即 g ( x) 递增. ∴当 x �(�, e) 时， g � 2 ∴ g ( x) �g (e)   ，又 在 ( �, e) 上逐渐变小时 g ( x ) 逐渐趋近于 0，当 时 x 1  x  0 e g ( x )  g ( 1)  0 ∴ g ( x) x 且随 趋向于 0， g ( x) 趋向无穷大. 的图象如下： 1 ∵ f ( x) 的定义域为 {x | x �0} ，由 f ( x )   0 可得： 2 在 上 3 x  mx  2m 2  0 ( �, 0) U (0, �) m 2m 必有两个不等的实根 t1 , t2 (假设 t  t )且 t1   m, t2  ， 1 2 3 (m  0) ∴令 t  g ( x) ，要使 f (t )  2 2 2m 1  0，  0 的 3 个实根，则 t �[0, �) 、 t2 �( , 0) ，即   1 e 3 m e 3 可得   m  0 . e ∴由 x1  x2  x3 知： t2  g