河北省衡水中学 2022 届上学期高三年级五调考试 数 学 总分 150 分，考试时间 120 分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1 A. . 已知集合 A  { x || x  2∣  1} ， (0,3) B. B   x∣ log 2 x  1 (1, 2) C. ，则 A I B  （ (�,3) ） D. (0, 2) 【答案】B 2. 6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名， 丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有（ ） A. 120 种 B. 90 种 C. 60 种 D. 30 种 【答案】C 3. 已知直三棱柱 A. 15 3 ABC  A1 B1C1 的所有棱长都相等， M 为 A1C1 5 6 B. 3 C. 4 的中点，则 AM 与 BC1 D. 所成角的余弦值为 10 4 【答案】D 4. 已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若 uuu v uuuv FP  4 FQ ，则|QF|＝(　　) 7 A. 2 【答案】C 5 B. 2 C. 3 D. 2 5. 已知圆 C 的 方程为 ( x  1)  ( y  1)  2 ，点 P 在直线 y = x + 3 上，线段 AB 为圆 C 的直径，则 2 2 uuu v uuu v PA � PB 的最小值为 5 B. 2 A. 2 7 D. 2 C. 3 【答案】B 6. 如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为 2，除此之外每个数字均为其两肩的数字 之积，则该“数字塔”前 10 层的所有数字之积最接近 A. 10300 B. 10 400  lg 2 �0.3 C. （ 10500 ） D. 10600 【答案】A f ( x1 )  f ( x2 ) 3 0 a f( )， 7. 已知 f ( x) 是偶函数，且对任意 x1 , x2 �(0, �) ， ，设 b  f (log 3 7) ， x1  x2 2 c  f (0.83 ) A. bac ，则（ ） B. cab C. cba D. acb 【答案】B x2 y 2 8. 已知双曲线 C : 2  2  1 a  0, b  0  的右顶点、右焦点分别为 A， ，过点 A 的直线 与 的一条 l C a b F uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur AQ � AB  AQ � FB BQ  3 FQ QF Q C 渐近线交于点 ，直线 与 的一个交点为 B，若 ，且 ，则 C 的离心率 为( ) A. 2 B. 5 1 C. 2 5 3 D. 2  5 【答案】C 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分． 9. 设公差不为 0 的等差数列 A. a17 {an } B. 的前 n 项和为 Sn S35 ，若 S17  S18 C. ，则下列各式的值为 0 的是（ a17  a19 D. ） S19  S16 【答案】BD 10. 函数 f ( x )  cos( x   )(  0,     0) 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）  A. 将函数 f ( x) 的图象向左平移 3 个单位长度，得到一个奇函数的图象 B. f ( x) 的图象的一条对称轴可能为直线 x  6 17 23 � � , C. f ( x) 在区间 � 6 � �6 �上单调递增 �4 � ,0� D. f ( x) 的图象关于点 � �3 �对称 【答案】ABD 11. 黄金分割是一种数学上的比例，是自然的数美．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏 着丰富的美学价值．应用时一般取 0. 618．将离心率为黄金比 a b 1: 5 1 2 的倒数，即 e0  5 1 2 的双曲线 c 称为黄金双曲线，若 ， ， 分别是实半轴、虚半轴、半焦距的长，则对黄金双曲线，下列说法正确的 有（ ） x2 y2  1 2 a 5  1 A. 当焦点在 轴时，其标准方程为 a2 x 2 B. 若双曲线的弦 EF 的中点为 M ，则 C. a, b, c k EF � kOM  e0 成等比数列 D. 双曲线的右顶点 A(a, 0) ，上顶点 B (0, b) 和左焦点 F  c , 0  构成的 VABF 是直角三角形 【答案】ACD 12. 函数 f ( x )  ekx � ln x （k 为常数）的图象可能是（ A. B. C. D. ） 【答案】ABC 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 1 2   ab 13. 若正实数 a, b 满足 a b ，则 ab 的最小值是___. 【答案】 2 2 14. 如图，在 VABC 中， cos C  3 sin B ，点 D 在边 BC 上， AD  AC ， AD  2 ，则 AB 的长为____ _______. 【答案】 2 3 15. 某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课，要求语文与化学相邻，数学 与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是___________． 【答案】16 16. 将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为 2，若该组合体有外接球，则 正三棱锥的底面边长为_________，该组合体的外接球的体积为_______． 【答案】 ①. 6 8 2 ②. 3 π 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．  � � 3  17. 已知函数 f ( x )  2 cos 2 x sin �2 x  3 � � � 2 ，  0 ， �  �  , （1）求 f ( x) 在区间 � �6 6� �上的值域； � 3 � �  5 � f � �   ��  , （2）若 �2 � 5 ， �6 6 � �，求 sin  的 值． ．   f ( x )  f ( x )  2 1 2 请从①若 ， | x1  x2 | 的最小值为 2 ；② f ( x) 图象的两条相邻对称轴之间的距离为 2 ；  f ( x )  f ( x )  0 | x  x | ③若 ， 1 1 2 2 的最小值为 2 ，这三个条件中任选一个，补充在上面问题的条件中并作 答． 【答案】（1）条件选择见解析，值域为 （2）  1, 0 3  4 3 10 18. 已知首项为 1 的数列  an  的前 n 项和为 Sn ，且 an  3Sn  3Sn 1  an an 1  1 ． �1 � （1）求证：数列 �a  1 �为等差数列； �n （2）记数列   a3n 2  1  a3n 1  1  的前 n 项和为 Tn ，求 Tn ． 4n 【答案】（1）证明见解析；（2） Tn  3n  1 . y2 x  2  1(b  0) 19. 双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F2 ，直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A、B 两点. b 2 π （1）若 l 的倾斜角为 2 ， VF1 AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； uuur uuur uuur ( F A  F1 B) � AB  0 ，求 l 的斜率. b  3 （2）设 ，若 l 的斜率存在，且 1 【答案】（1） y  � 2 x 20. 如图，矩形 BF  2 ， ABCD AF  4 . � ；（2） 和梯形 ABEF 15 5 . 所在 的 平面垂直， BE //AF ， �BEF  90o ， �BAF  30o ， （1）求证： BF  AC ； （2）若直线 AC 与平面 ABEF 所成的角等于 【答案】（1）证明见解析；（2） 21. 设点 P 为圆 C1 : x 2  y 2  2 的 （1）求点 M 轨迹 C2  30o ，求钝二面角 D  CF  E 的余弦值. 10 5 . uuuu r uuur 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Q ．点 M 满足 2 MQ  PQ ． 的方程． （2）过直线 x  2 上的点 T 作圆 C1 的两条切线，设切点分别为 A ， B ，若直线 AB 与（1）中的曲线 C2 交 S1 于两点 C ， D ．分别记 △ TAB ， △ TCD 的面积为 S1 ， S 2 ，求 S 2 的取值范围． x2 1  y2  【答案】（1） 2 ；（2） (1, 2] ． 22. 已知函数 （Ⅰ）讨论 f ( x)  nx  x n , x �R f ( x) （Ⅱ）设曲线 x ，其中 n  N*, n 2 . 的单调性； y  f ( x) 的正实数 ，都有 x 与 轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为 f ( x) �g ( x) y  g ( x) ,求证：对于任意 ； （Ⅲ）若关于 x 的方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实根 x1，x2 ，求证： x2 -x1  a 2 1 n n 【答案】（Ⅰ） 当 为奇数时， 数时， f ( x) 在 (�, 1) f ( x) 上单调递增， 在 (�, 1) f ( x) 在 ， (1, �) (1, �) 上单调递减，在 (1,1) n 内单调递增；当 为偶 上单调递减. （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）见解析. 本试卷的题干、答案和