哈尔滨市第六中学校 2020 级上学期期末考试 高二数学试题 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、单项选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符 合题目要求． 3 x  3 y  1  0 ，则下列结论正确的是（ 1．已知直线 l： ）  A．直线 l 的倾斜角是 3 B．直线 l 在 x 轴上的截距为 1 C．若直线 m： 3x  3 y  1  0 ，则 l  m D．过 2 3, 2 与直线 l 平行的直线方程是 3 x  3 y  0 X : N  6,1 2．已知随机变量 则 P  7  X �8 为（ A．0.1358 ，且   P      X �    �0.6827 ， P    2  X �  2  �0.9545 ） B．0.2716 C．0.1359 D．0.2718 3．圆  x  1   y  2   2 关于直线 l： x  y  2  0 对称的圆的方程为（ 2 2 A．  x  4    y  1  2 B．  x  4    y  1  2 C．  x  4    y  1  2 D．  x  4    y  1  2 2 2 2 2 2 2 ） 2 2 4．某社区医院为了了解社区老人与儿童每月患感冒的人数 y（人）与月平均气温 x（℃）之间的关系，随机 统计了某 4 个月的患病（感冒）人数与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温 x（℃） 17 13 8 2 月患病 y（人） 24 33 40 55 $ 由表中数据算出线性回归方程 y  bx  a 中的 b  2 ，气象部门预测下个月的平均气温约为 9℃，据此估计 该社区下个月老年人与儿童患病人数约为（ A．38 B．40  x  2 2 A．相离 C．46 D．58 C1 ： x  y  2 x  my  1  0  m �R  的面积被直线 x  2 y  1  0 平分，圆 C2 ： 2 5．已知圆 ） 2   y  3  16 ，则圆 C1 与圆 C2 的位置关系是（ 2 B．相交 C．内切 ） D．外切 ， y2 x  1 6．过点 P  4, 6  且与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程为（ 3 2 x2 y 2  1 A． 12 4 7．如图，已知 y 2 x2  1 B． 4 12 F1 ， 点 M，N．若过点 F1 F2 x2 y 2  1 C． 4 12 分别是椭圆的左、右焦点，现以 的直线 MF1 是圆 F2 F2 ） y 2 x2  1 D． 12 4 为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于 的切线，则椭圆的离心率为（ ） 2 A． 2  3 B． 3  1 8．若直线 y  x  b 与曲线 y  � 3,3 2 A． �  3 C． 2 D． 2 9  x 2 有两个公共点，则实数 b 的取值范围为（ � 3 2, 3 2 B． �  � 3,3 2 C． �  ）  � D． 0,3 2 � x2 y 2  1 9．设 F 是双曲线 4 12 的左焦点， A  1,3  ，P 是双曲线右支上的动点，则 PF  PA 的最小值为（ ） B． 4  3 2 A．5 C． 54 3 D．9 x2 y2   1 a  0, b  0  10．设 F1 ， F2 是双曲线 C： a 2 b 2 的左、右焦点，O 是坐标原点．过 F2 作 C 的一条渐近 线的垂线，垂足为 P．若 A． 5 PF1  6 OP ，则 C 的离心率为（ B．2 C． 3 ） D． 2 二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目 要求，全部选对得 5 分，有错选得 0 分，部分选对得 3 分． 11．已知直线 l： xcoa  y sin   1 与圆 O： x2  y2  9 交于 A，B 两点，则（ ） A．线段 AB 的长度为定值 B．圆 O 上总有 3 个点到 l 的距离为 2   C．直线 l 的倾斜角为 2 D．线段 AB 的中点轨迹方程为 x  y  1 2 2 x2 y2   1 a  b  0  12．已知椭圆 C： a 2 b 2 的右焦点为 F，点 P 在椭圆 C 上，点 Q 在圆 E：  x  3 2   y  4   4 上，且圆 E 上的所有点均在椭圆 C 外，若 PQ  PF 的最小值为 2 5  6 ，且椭圆 C 2 的长轴长恰与圆 E 的直径长相等，则下列说法正确的是（ ） A．椭圆 C 的焦距为 1 B．椭圆 C 的短轴长为 2 3 C． PQ  PF 的最小值为 2 3 D．过点 F 的圆 E 的切线斜率为 4 � 7 3 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13．过点  1,3 作圆 x 2  y 2  10 的切线，则切线方程为______． 14．已知 5 道试题中有 3 道代数题和 2 道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第 1 次抽到 代数题的条件下，第 2 次抽到几何题的概率为______． 15．已知圆 C1 ： x   y  3  9 和圆 C2 ： x   y  3  1 ，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 外切，则动圆的 2 2 2 2 圆心 M 的轨迹方程为______． x2 y 2 x2 y 2   1 a  0, b  0  1   16．已知双曲线 C： a 2 b 2 与椭圆 25 9 有公共的左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，以线 段 F1 F2 为直径的圆与双曲线 C 及其渐近线在第一象限内分别交于 M，N 两点，且线段 近线上，则 OMF2 NF1 的中点在另一条渐 的面积为______． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分） 某省食品药品监管局对 15 个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估，满分为 10 分，大部分 大学食堂的评分在 7~10 分之间，以下表格记录了它们的评分情况： 分数段  0, 7   7,8  8,9   9,10 食堂个数 1 3 8 3 （1）现从 15 个大学食堂中随机抽取 3 个，求至多有 1 个大学食堂的评分不低于 9 分的概率； （2）以这 15 个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选 3 个，记 X 表示抽到评分不低于 9 分的食堂个数，求 X 的分布列及数学期望． 18．（本小题满分 12 分） 已知点 M  1,3 ，圆 C：  x  2    y  1  4 ，l： x  y  4  0 2 2 （1）若直线过点 M，且被圆 C 截得的弦长为 2 3 ，求该直线的方程． （2）设 P 为已知直线 l 上的动点，过点 P 向圆 C 作一条切线，切点为 Q，求 PQ 的最小值． 19．（本小题满分 12 分） x2 y 2  1 椭圆 C： 6 的左右焦点分别为 F1 ， F2 ，P 为椭圆 C 上一点． 2 （1）当 P 为椭圆 C 的上顶点时，求 �F1 PF2 的余弦值； AB  （2）直线 y  k  x  2  与椭圆 C 交于 A，B，若 4 6 5 ，求 k． 20．（本小题满分 12 分） x2 y 2 2   1 的左右焦点分别为 F ， F ，离心率为 已知椭圆 a 2 b 2 1 2 2 ，P 是椭圆上一点，且 △ PF1 F2 面积的最大 值为 1． （1）求椭圆的方程； uuuur uuuu r F M � F N F 1 （2）过 2 的直线交椭圆于 M，N 两点，求 1 的取值范围． 21．（本小题满分 12 分） 区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器， 将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015 年至 2019 年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增 长，居世界前列现收集我国近 5 年区块链企业总数量相关数据，如表 年份 2015 2016 2017 2018 2019 编号 x 1 2 3 4 5 2.156 3.727 8.305 24.279 36.224 企业总数量 y （单位：千个） 5 注：参考数据 �yi  74.691 i 1 5 ， �xi yi  312.761 i 1 5 ， �zi  10.980 i 1 5 ， �x z i 1 i i  40.457 n 附：样本 � � , n  xi , yi   i  1, 2, � 的最小二乘法估计公式为 b$ �x y  nxy i 1 n i i �x i 1 2 i  nx 2 ， $ a$  y  bx （其中 z  ln y ）． （1）根据表中数据判断， y  a  bx 与 y  cedx � � （其中 e  2.71828 � ，为自然对数的底数），哪一个回归 方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由） （2）根据（1）的结果，求 y 关于 x 的回归方程； （3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区 块链公司参赛比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此 场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获 1 1 得此次信息化比赛的“优胜公司”，已知在每场比赛