诸暨市 2020－2021 学年第一学期期末考试试题 高三数学 注意：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共 4 页,满分 150 分, 考试时间 120 分钟． 　 　2．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式： 柱体的体积公式 V=Sh 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 1 锥体的体积公式 V= 3 Sh V  1 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 h ( S1  S1S 2  S 2 ) 3 台体的体积公式 球的表面积公式 S=4πR2 其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径 4 球的体积公式 V= 3 πR3 其中 R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分) 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．已知集合 A  {0,1} ， B  { y | y  3  2 , x �A } ，则 A I B  （ ▲ ） x A． {0} x B． {1} C． {0 ,1} D． ∅ 2．已知复数 z 满足 z  z =1+i （ i 为虚数单位），则 z  （ ▲ ） B． i A． i 3．若实数 x, y 满足约束条件 A． 1 � � , �� � 2 � � 0, 5 � C． � � � C． 1  i �x  y  1 �0 , � �x  y  1 �0 � y �1 , � ,则 z  x  y 的取值范围是（ ▲ ） �2 � , �� �2 � B． � D． D． 1  i 2 4  0,5 4．某几何体的三视图如图所示（单位： 2 2 3 3 正视图 侧视图 cm ），则 cm 3 ）是（ ▲ ） 该几何体的体积（单位： 4 4 俯视图 A． 24 B． 30 C． 4 7 D． 6 7 5. 若 x �R , k �Z ，则“ x  k   4 ”是“ tan x  1 ”的（ ▲ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件  6．已知数列  an  的前 n 项和为 Sn ，且 an  0 ， n �N ,若数列  an  和  Sn  都是等差数列， 则下列说法不正确的是（ ▲ ） A．  an  Sn  是等差数列 Sn  是等差数列 B．  an �     2 C． an 是等比数列 7． 已知函数 2 D． Sn f ( x)  x � (e x  e  x )  x 2 A． xy  0 ，若 B． xy  0 　 是等比数列 f ( x)  f ( y)  f ( x  y ) C． x  y  0 ，则（ ▲ ） D． x  y  0 8．设 a  0, 若随机变量  的分布列如下：  -1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差值中最大的是（ ▲ ） A． D ( ) B． D (  ) D． D (2   1) C． D (2 -1) �e x 1  1, x �1, f ( x)  � ln x, 0  x  1, g ( x)  f ( x)  ax  b � 9．已知函数 ， ，则下列说法正确的有（ ▲ ） ① 存在 a, b �R ，函数 g ( x) 没有零点； ② 存在 a, b �R ，函数 g ( x) 恰有三个零点； ③ 任意 b �R ，存在 a  0 ，函数 g ( x) 恰有一个零点； ④ 任意 a  0 ，存在 b �R ，函数 g ( x) 恰有二个零点； A．1 个 B． 2 个 C．3 个 D． 4 个 10．如图，在三棱锥 P  ABC 中， AB  AC ， AB  AP ， D 是棱 BC 上一点（不含端点） 且 PD  BD ， 记 �DAB 为  ， 直 线 AB 与 平 面 P PAC 所成角为  ，直线 PA 与平面 ABC 所成角为 A B D C  ，则（ ▲ ） A. C.  � ,  �  � ,  � B. D.  � ,  �  � ,  � 第Ⅱ卷（非选择题，共 110 分） 二．填空题（本大题有 7 个小题，单空题每题 4 分，多空题每题 6 分，共 36 分） x2 y2  1 2 2 11．已知双曲线 a 的离心率 e  3 ，则双曲线的焦点坐标是 程是 ▲ ▲ ；渐近线方 ． 12. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长 l 与太阳天顶距  (0o � �80o) 的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学 知识可知，晷影长度 l 等于表高 h 与太阳天顶距  正切值的乘积，即 l  h� tan  .若对同一“表高”两次测量,“晷影长”分别是“表高” 的 2 倍和 3 倍(所成角记 1、 2 )，则 tan(1  2 )  ▲ ． f ( x )  sin( x   ) (  0 , 0    13．已知函数 3  f (0)  ) 2 ,则   2 ，且 g ( x )  sin x 若 f ( x) 与 的周期相同，则  = 14．若多项式 则 ▲ a0  ▲ 7 ； 2 a6  ▲ ； ． x  2 x  a0  a1 (1  x )  a2 (1  x )  L  a6 (1  x )6  a7 (1  x )7 6 ▲ ， ． 15. 某单位把 15 只同种型号的口罩分给甲、乙、丙三人(每人至少 1 只)，且三人领到的口 ▲ 种;甲恰好领到 3 只口罩的概率为 ▲ ． ur ur ur ur ur e ,e , e e ,e 16．已知 ur 1 ur 2 3 是平面向量，且 1 2 是互相垂直的单位向量，若对任意  �R 均有 e3   e1 ur ur ur ur ur ur ur e3  e2 e1  3e2  e3  e3  e2 罩只数互不相同，则不同的分发方案有 的最小值为 ，则 的最小值为 ▲ ． x2 C :  y2  1 2 17．已知椭圆 的左焦点为 F ，椭圆外一点 P (0, t ) (t  1) ，直线 PF 交 椭 圆 于 A、B 两 点 ， 过 P 作 椭 圆 C 的 切 线 ， 切 点 为 E ， 若 2 3 PE  4 PA �PB ，则 t  ▲ ． 三、解答题（本大题有 5 个小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18 ． （ 本 题 满 分 14 分 ） 在 ABC 中 ， 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c ， 已 知 b  c� cos A  a 2． ⑴ 求角 C 的大小； ⑵ 若 c  2 3 ， ABC 的面积为 3 ，分别求 a  b 、 sin A  sin B 的值． 19．（本题满分 15 分） A 如图，在三棱锥 A  BCD 中， ABC 是边长为 3 的等边 三角形， CD  CB , CD  平面 ABC ，点 M 、N 分别为 AC、CD 的中点，点 P 为线段 BD 上一点，且 BM / / 平 面 APN . （1）求证： BM  AN ； （2）求直线 AP 与平面 ABC 所成角的正弦值． B M P D N C 20．（本题满分 15 分）  a  、 bn  已知正项数列 n a  ，记数列 n 4 a1  b1  S 3 ， 2 S n  an  1 ， 的前 n 项和为 n ，若 nbn2  bn bn 1  ( n  1)bn21  0 （1）求数列  an  、 bn  （2）求数列  2anbn  的通项公式； 的前 n 项和 Tn ． 21．（本题满分 15 分） 如图，已知抛物线 y  4 x 的焦点为 F ，过 F 作斜率为 k ( k  0) 的直线交抛物线于 2 A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ) 两 点 ， 且 y1  0 ， 弦 AB 中 垂 线 交 x 轴 于 点 T ， 过 A 作 斜 率 为 k 的 直 线 交 抛 物 线 于 另 一 点C . （1）若 y1  4 ，求点 B 的坐标； （2）记 ABT、ABC 的面积分别为 S1、S2 , 若 S2 =4S1 ，求点 A 的坐标． 22．（本题满分 15 分）已知函数 （1）讨论函数 （2）若函数 f ( x) f ( x) f ( x )  e x  ax  1 ． 在 的单调性； (0, �) 有零点 x0 ，求证： 2 ln a  x0  2ln a （i） a ； （ii） f (ax0 )  ( a  1)3 ( a  1) . 诸暨市高三数学期末考试答案 2021.2 一．选择题 1 C 2 B 3 A 4 D 5 C 6 D 7 A 8 C 9 B 二．填空题 11. 14.  � 3,0 ； y  � 2 x 1 ； 13 15. 72 ； 12. 1 9 16.  1 3 13. 3 ； 2 17. 6 2 三．解答题 1 cos A  sin A 18.解：（1） Q sin B  sin C � 2  2sin( A  C )  2sin C � cos A  sin A ……2′ ……1′  2sin A cos C  sin A ……2′ 1  �C  2 3 ……1′  cos C  10 A （2）Q 1 2 3 ab sin C  3  ab  4 2 sin C ……2′ 又 Q c 2  a 2  b 2  2ab cos C ……1′ 12  a 2  b 2  ab  ( a  b) 2  3ab ……1′  ( a 