高二数学期末复习资料-数列专题 一、解答题 1．已知等比数列 （1）求数列 （2）若  an  bn  nan （2）若 bn  an   bn  的前 n 项和 的前 n 项和为 Sn Tn ，且 . a2  2  an  bn  ，求数列  cn  的前 n 项和为  Sn  1 Sn 的前 n 项和 ，已知 a1  1 为等比数列，求出  an  Tn ， ， S5  S4  16 ，等差数列  bn  满足： b2  a2  a3 ， b3  a3  a4 . . S n 1  2S n  1 * ， n �N ． 的通项公式； n an ，求  bn  的前 n 项和 Tn ； n （3）在（2）的条件下判断是否存在正整数 使得 由． . ； （1）证明： （2）若 a3  a4  6a5 的通项公式； cn  an  bn 3．设数列 是首项为1 的递减数列，且 ，求数列 2．已知等比数列 （1）求  an  Tn � 2n 1  n  50 n 成立？若存在，求出所有 值；若不存在说明理 4．在① 已知 S3  12 {an } ，② 2a2  a1  6 ，③ a8  16 ，这三个条件中任选一个，补充在下面试题的空格处中并作答． a1 a2 a4 Sn n 0 是公差不为 的等差数列，其前 项和为 ，若____，且 、 、 成等比数列． （1）求数列 （2）设数列 {an } {bn } 的通项公式； 是各项均为正数的等比数列，且 5．已知等差数列 （1）求数列  an   an  的前 n 项和为 Sn ,且 b2  a1 S3  9, a1 , a3 , a7 ， b4  a4 ，求数列 {an  bn } 成等比数列. 的通项公式； a n （2）若数列  an  的公差不为 0，数列  bn  满足 bn  2n ,求数列  bn  的前 n 项和 Tn . 6．已知等差数列 （1）求数列 （2）求数列  an   an  的各项均为正数，且 an .  2  的前 n 项和 S . 的通项公式 an n an21  an2  8n . Tn n 的前 项和 ． 7．给出以下三个条件：① 4a3 ， 3a4 ， 2a5 成等差数列；②对于 n �N * ，点 ( n, S n ) 均在函数 y  2x  a S3  7 a 中 为常数；③ ．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 设 {an } 是一个公比为 （1）求数列 {an } q(q  0, q �1) 的等比数列，且它的首项 a1  1 ，． 的通项公式； �1 � 1 � � （2）令 bn  2log 2 an  1(n �N * ) ，证明数列 �bn bn 1 的前 n 项和 Tn  2 ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 8．已知数列 {an } 的前 n 项和 （1）证明：数列 {an } Sn 满足 4an  3Sn  3, 其中 n �N * . 为等比数列； 1 （2）设 bn  an  4n  1, 求数列 {b } 的前 n 项和 T . n n 3 9．数列  an  的前 n 项和为 Sn ，且 Sn  n 2  n �N *  ，数列  bn  满足 b1  2 ， bn  3bn1  2  n �2, n �N *  . （1）求数列  an  的通项公式； 的图象上，其 （2）求证：数列  bn  1 （3）设数列  cn  满足 是等比数列； cn  an bn  1 ，其前 n 项和为 Tn ，证明： Tn  1 . f ( x)  x 2 10．已知二次函数 ，数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，点 (n, Sn ) 上。 {an } （Ⅰ）求数列 的通项公式； 1 100 } Tn  T a a （Ⅱ）若数列 n n 1 前 n 项和为 n ，问满足 209 的最小正整数 n 是多少? . { 11．已知等差数列{an}的首项 a1=1，公差 d＞0，且 a2，a5，a14 成等比数列． （Ⅰ） 求数列{an}的通项公式； 1  an ，求数列{b }的前 n 项和 S ． （Ⅱ） 令 bn  an � n n an 1 12．已知数列 （1）求 （2）求  an   an   an  是一个等差数列，且 的通项 an ； 的前 n 项和 Sn 的最大值. a2  11 ， S5  45 . 均在函数 y  f ( x) 上的图像 13．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，Sn＋Sn+1＝1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若 bn＝n·an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 14．已知数列 （1）求数列 （2）若 bn   an  的前 n 项和为 Sn ，且 a1  2, Sn 1  3Sn  2  n �N *  ．  an  的通项公式； n ，令 cn  anbn ，求数列  cn  的前 n 项和 T ． 2 n 15．在等比数列{an}中，a2＝1，a5＝8，n∈N*． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn＜100，求 n 的最大值． 16．已知正项数列 （1）求数列  an   an  的前 n 项和为 Sn ，且 6 S n  an an 1  2 ， a1  1 的通项公式； （2）若数列  cn  满足 cn  2 an  2 3 � an ，求数列  cn  的前 n 项和 Tn ． ． 17．设  an  （1）求 （2）设 是等差数列，且  an  a2  2 ， 2a1  a3  5 ． 的通项公式； bn  2an  2an ，求数列  bn  的前 n 项和为 Sn . 2 18．已知  an  是等比数列， an  0 ，且 a2  3 ， a6  a5  2a4 ． （1）求数列 （2）设  an  的通项公式； bn  an an 1 19．已知数列  an  ，求数列 ， Sn  bn  的前 n 项和 Sn ．  为其前 n 项和， n �N ． 1 （1）若  an  是等差数列，公差 d  3 , n  37, Sn  629 ，求 a1 ； （2）若 S n  3n  1 ，求  an  的通项公式． 20．在数列  an  （1）求证:数列 （2）求数列 中， a1  2, an 1  4an  3n  1, n �N . {an  n}  an  是等比数列; 的前 n 项和 Sn . 参考答案 n 1 1．（1） �1 � n2 an  � � Tn  4  n 1 ；（2） 2 �� 2 . 【分析】 (1)由已知等式结合通项公式解出公比，再结合递减数列取舍，即可得数列  an  的通项公式. (2)用错位相减法求和. 【详解】 1 1 （1）由 a3  a4  6a5 ，得 6q 2  q  1  0 ，解得 q  2 或 q   3 . Q 1 数列  an  为递减数列，且首项为 ， q  . 2 1 n 1 n 1 �1 � �1 �  an  1�� �  � � �2 � �2 � . 0 1 n 1 2 �1 � �1 � �1 � �1 � Q Tn  1�  2�  3� L  n � � � � � � � �� ， （2） �2 � �2 � �2 � �2 � 1 2 3 n 1 �1 � �1 � �1 � �1 �  Tn  1� � � 2 � � �3 � � � L  n � � �. 2 2 2 2 �� �� �� �2 � 两式相减得 0 1 2 n 1 n 1 �1 � �1 � �1 � �1 � �1 � Tn  � � � � � � L  � �  n � �� 2 �2 � �2 � �2 � �2 � �2 � n �1 � 1 � � n 2 � �1 � � n n   n� � n2 ， �1 � �1 � 1 2 � �  2  2� 1 � � n � � � 2  n 2 �2 � �2 � 2 Tn  4  n2 . 2n 1 【点睛】 本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求数列的和.若数列  an  满足 an  bn cn 且  bn  ，  cn  分别是等差数列和等比数列，则可以用错位相减法求数列 2．（1） bn  6n  6 ；（2）  an  的前 n 项和. Tn  2 n  3n 2  3n  1 【分析】 � b2  a2  a3  2  22  6 � （1）首先根据已知条件得到 an  2n 1 ，从而得到 � b3  a3  a4  22  23  12 ，再解方程组即 可. （2）首先根据（1）得到 cn  2n 1  6n  6 ，再利用分组求和求解 Tn 即可. 【详解】 a5  q3  8 � q  2 n2 n 1 S  S  a  16 a （1） 5 ，所以 2 ，即 an  2 �2  2 . 4 5 b d 6 � b 0 b2  a2  a3  2  22  6 � � � �1 � �1 � 2 3 所以 � b1  2d  12 �d  6 ， b3  a3  a4  2  2  12 � 所以 bn