2020-2021 北京高三一模分类 平面向量与不等式 【平面向量】 一、平面向量·线性运算 1．（2021·北京房山·一模）在矩形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ， E 是线段 OD 的中点，若 A．  uuur uuu r uuur AE  m AB  n AD 1 2 B． ，则 mn C． 1 2．（2021·北京通州·一模）设向量 uuur ur uu r AC  e1  3e2 ， 的值为（ uuur ur uu r BD  2e1  ke2 ur uu r e1 , e2 ） D． 1 是两个不共线的向量，已知 1 2 uuur ur uu r AB  2e1  e2 ， ur uu r uuur e1 , e2 BC  ______（用 ，且 B，C，D 三点共线，则 表 示）；实数 k  ______． 3．（2021·北京门头沟·一模）正 VABC 的边长为 1，中心为 O，过 O 的动直线 l 与边 AB，AC 分别相交于点 M、N， uuuu r uuu r AM   AB 结论： uuur 1 uuu r 1 uuur ① AO  AB  AC 3 3 uuur uuur 1 uuur ，则 AD � NC   ② 若 uuur AN  2 NC 4 1 1    不是定值，与直线 l 的位置有关 ③ ， uuur uuur AN   AC ， uuur uuur BD  DC .给出下列四个 4 ④ VAMN 与 . 的面积之比的最小值为 VABC 9 其中所有正确结论的序号是________ 二、平面向量·数量积运算 r a r c r b r a r b r c r a r c 4．（2021·北京海淀·一模）已知 ， 是单位向量， ＝ ＋2 ，若 ⊥ ，则| |＝ （ ） A．3 B． 7 3 C． 2 D． , AC  4, BC  3 ，点 P 是 AB 的中点， 5．（2021·北京西城·一模）在 VABC 中， C  90� 则 uuu r uuu r CB � CP  A． （ ） 9 4 B．4 C． 6．（2021·北京丰台·一模）已知非零向量 r r r r r r v v a b c  a b� c a   c 成立”是“ � ”的（     r r r a, b, c 9 2 D．6  共面，那么“存在实数 ，使得 ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5 1 �0.618 7．（2021·北京东城·一模）宽与长的比为 2 的矩形叫做黄金矩形它广泛 的出现在艺术建筑人体和自然界中，令人赏心悦目在黄金矩形 ABCD 中， BC  5  1 A． 5 1 ， AB  BC ，那么 B． uuu r uuu r AB � AC 5 1 的值为（ ） C．4 D． 2 52  8．（2021·北京大兴·一模）已知平面向量 ar  (1, 2) 与 br  (3, x) 的夹角为 ，则 __ x 4 ______. 9．（2021·北京朝阳·一模）已知向量 r r a  ( 3,1), b  ( x, y )( xy �0) ，且 r r r | b | 1, a � b0 ， r b 则向量 的坐标可以是_______．（写出一个即可） 10．（2021·北京海淀·一模）已知点 uuu r uuu r cos  OA, OB  O(0, 0) ___________；若 B 是以 ， OA A(1, 2) ， B(m, 0)(m  0) 为边的矩形的顶点，则 ，则 m ___________. ，， AB  1 BC  2 ， 11．（2021·北京平谷·一模）已知在直角三角形 ABC 中， �A  90� 那么 uuu r uuur AB � BC uuuur uuu r 等于______；若 AM 那么 AM ·BP 的最大值是____． 是 BC P 边上的高，点 在 VABC 内部或边界上运动， 12．（2021·北京怀柔·一模）如图，在直角梯形 ABCD 中， AB / /CD, AB  BC , AB  2, CD  1, BC  a (a  0) uuu r uuur uuu r uuur AP  x AD, PB � PC  y ，对于函数 y  f ( x) ，P 为线段 AD 上一个动点，设 给出下列四个结论： ① 当 a  2 时，函数 f ( x) 的值域为 [1, 4] ； ② ③ ④ a �(0, �) a �(0, �) a �(0, �) ，都有 ，函数 ，函数 f (1)  1 f ( x) f ( x) 成立； 的最大值都等于 4； 的最小值为负数. 其中所有正确结论的序号是___________. 【不等式】 1．（2021·北京通州·一模）已知 a, b, c �R ，则“ a  b ”的一个充分而不必要条件是（ ） A． a2  b2 B． a3  b3 C． 2 a  2b D． ac 2  bc 2 2．（2021·北京房山·一模）已知 a ， b �R ，且 a  b ，则下列各式中一定成立的是（ ） A． 1 1  a b B． a 3  b 3 C． ab  b 2 D． a 2 2 b 3．（2021·北京朝阳·一模）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件 A 商品获利 8 元．现计划在“五一”期间对 A 商品进行广告促销，假设售出 A 商品的件数 m （单 2 位：万件）与广告费用 x （单位：万元）符合函数模型 m  3  x  1 ．若要使这次促 销活动获利最多，则广告费用 x 应投入_______万元． 2020-2021 北京高三一模分类 平面向量与不等式-解析 【平面向量】 一、平面向量·线性运算 1．（2021·北京房山·一模）在矩形 ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O ， E 是线段 OD 的中点，若 A．  uuur uuu r uuur AE  m AB  n AD 1 2 B． ，则 mn 的值为（ C． 1 ） 1 D． 1 2 【答案】A 【分析】 根据平面向量的线性运算法则，结合矩形的性质进行求解即可 【详解】 uuur uuu r uuu r uuu r 3 uuur uuu r 3 uuu r uuur 1 uuu r 3 uuur 因为 AE  AB  BE  AB  4 BD  AB  4 ( BA  AD )  4 AB  4 AD ， 1 3 1 所以 m  4 , n  4 � m  n   2 ， 故选：A 2．（2021·北京通州·一模）设向量 uuur ur uu r AC  e1  3e2 ， uuur ur uu r BD  2e1  ke2 示）；实数 k  ______． 【答案】 ur uu r e1  4e2 8 ur uu r e1 , e2 是两个不共线的向量，已知 uuur ur uu r AB  2e1  e2 ， ur uu r uuur e1 , e2 BC  ______（用 ，且 B，C，D 三点共线，则 表 【分析】 由向量减法法则得 uuur uuur BD   BC uuur uuur uuur BC  AC  AB 即可得答案，再根据 B，C，D 三点共线，得 即可得答案. 【详解】 由向量减法法则得： uuur uuur uuu r ur uu r BC  AC  AB  e1  4e2 ， ur uu r ur uu r uuur uuur 2e1  ke2   e1  4e2 BD   BC 由于 B，C，D 三点共线，所以 ，即： ，     2 �  2 � � � k  4 ，解得： �k  8 . 所以 � 故答案为： ur uu r e1  4e2 ；8 【点睛】 方法点睛：若向量 r r r r a , b a �0  r  共线，则 b = ar   �R  . 3．（2021·北京门头沟·一模）正 VABC 的边长为 1，中心为 O，过 O 的动直线 l 与边 AB，AC 分别相交于点 M、N， uuuu r uuu r AM   AB ， 结论： uuur 1 uuu r 1 uuur ① AO  AB  AC 3 3 uuur uuur 1 uuur ，则 AD � NC   ② 若 uuur AN  2 NC 4 1 1  ③   不是定值，与直线 l 的位置有关 4 ④ VAMN 与 . 的面积之比的最小值为 VABC 9 uuur uuur AN   AC ， uuur uuur BD  DC .给出下列四个 其中所有正确结论的序号是________ 【答案】①④ 【分析】 利用向量加法的平行四边形法则可判断①；利用向量数量积的定义可判断②；根据 M , O, N 三点共线可判断③；由三角形的面积公式结合③，利用基本不等式可判断④. 【详解】 uuur 2 uuur 2 1 uuu r uuur 1 uuu r 1 uuur 对于①，由 AO  3 AD  3 �2 AB  AC  3 AB  3 AC ，故①正确；   uuur uuur 1 uuu r uuur 1 uuur 1 uuu r uuur 1 uuur 2 1 1 1 NC  AB  AC � AC  AB � AC  AC    ，故②错误； 对于②， AD � 2 3 6 6 12 6 4   uuur 1 uuu r 1 uuur 1 uuuu r 1 uuur AO  AB  AC  AM  AN 3 3 3 3 对于③，由① ，因为 M , O, N 三点共线， 1 1 1 1  1