2021-2022 学年度高一数学第一次月考试卷 考试范围：第一、二章；考试时间：120 分钟；命题人：刘林芳 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题） 一、单选题 1．若对任意 x  0 ， x �a 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ x  3x  1 1 � � , �� � 5 � A． � �1 � � , �� � B． �5 � 1� �, � � C． � 5 � � 1� �, � � D． � 5 � 2．设 a, b, c 为实数， f ( x )  ( x  a )( x 2  bx  c ), g ( x )  (ax  1)(cx 2  bx  1) S   x | f ( x)  0, x �R , T   x | g ( x )  0, x �R 则下列结论不可能的是（ ．若| S |、 |T | 分别为集合 B． | S | 1 且 | T | 1 C． | S | 2 且 | T | 2 D． | S | 2 且 | T | 3 3．已知关于 x 的不等式 4．若“ mx  1  0 的解集为  m, n  ，则 m  n 的值为（ x3 B．  5 x0 �R ，使得 ．记集合 S ,T 的元素个数， ） A． | S | 1 且 | T | 0 A． ） 2 10 3 ax02  ax0  1 �0 C． 4 ） D． 5 或 a 成立”是真命题，则实数 的取值范围是（ A．  a a  0 B． C．  a a �4 或 a  0 D． 10 3 ）  a a �4  a a �4 2 5．不等式 ax  ax  1  0 对于任意的 x �R 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A． C．  0, 4   0, 4  B．  0, 4 D．  �, 0 � 4, � 2 6．设 x �R ，则“ x  1 ”是“ x  3 x  2  0 ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知 2 xy  y  1  0  x, y  0  ，则 A． 4 2 2  xy 的最小值为（ x B．8 ） C．9 8．已知 x, y �R, 且 x  y ，则下列说法是正确的是（ 1 1  A． x y D． ） B． ln x  ln y x y �1 � �1 � � � � 0 C． � �2 � �2 � D． x 2  y 2 二、多选题 9．已知集合 M＝{0，1，2}，N＝{x||x－1|≤1}，则（ ） A．M＝N B．N⊆M C．M∩N＝M D．(∁RM)∪N＝R 10．两个函数 x2 ， 8 2  x1  x2  y  x2  4 与 ym （ m 为常数）的图像有两个交点且横坐标分别为 ，则下列结论中正确的是（ ） A． m 的取值范围是 m  4 B．若 m  0 ，则 x1  2 ， x2 C．当 m0 时， D．二次函数 2 2  x1  x2  2 y   x  x1   x  x2   m 的图象与 x 轴交点的坐标为  2, 0  和  2, 0  x1 ， 3x 2  5 y 2  2 x  4 y  2m 2 (m �N* ) 恒成立， xy 11．若对任意满足 x  2 y  2 的正实数 x, y , 则正整数 m 的取值为（ A．1 ） B．2 C．3 D．4 2 12．已知关于 x 的不等式 ax  bx  c  0 ，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确 的是（ ） 2  x x  6 A．不等式 ax  bx  c  0 的解集不可能是 2 B．不等式 ax  bx  c  0 的解集可以是 R 2 C．不等式 ax  bx  c  0 的解集可以是 � 2  x 2  x  3 D．不等式 ax  bx  c  0 的解集可以是 第 II 卷（非选择题） 三、填空题 13．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园（阴影部分），矩形花 2 园面积最大值为______ m ． 14．设 a  0 ， b  0 ， a2  b2 2 2 2 ，则 a 1  b 的最大值是____________. 2 2 2 15．若 b 是正数，且 3a  2b  11 ，则 b 3  a 的最大值是______． 2 1 2   16  x  2 y  x  2 y  1 y  0 x y 16．已知 x  0 ， ，且 ，则 的最小值为_________． 四、解答题 17．已知二次函数 f ( x )  ax 2  bx  c . 2 （1）若 f ( x )  0 的解集为 (1, 2) ，求不等式 cx  bx  a  0 的解集； b （2）若对任意 x �R ， f ( x )�0 恒成立，求 的最大值； ac （3）若对任意 18．已知 x �R x  0, y  0 ， 2 x  2�f ( x)�2 x 2  2 x  4 ，且 x  4 y  40 恒成立，求 . （1）求 xy 的最大值； 1 1  （2）求 x y 的最小值. 19．已知 f  x  x x  3  4 （1）解不等式 （2）设 g ( x )  f  x  �0 ． ； f ( x) ( x �3 ，且 x �0 )，求 g  x  的值域． x ab 的最大值. 20．已知集合 A   x | 3 �x  7 （1）求 A∪B， ， B   x | 2  x  10 ， C   x | x  a ，全集为实数集 R. � R A �B （2）如果 A∩C≠∅，求实数 a 的取值范围. 8 1 1   1 x , y xy  0 xy x y 21．已知实数 满足 ，且 ，求 xy 的取值范围． 22．设 p : 2  a �x �2  a(a  0) ； q : x 2  x  6 �0 ． （1）若 a  1 ， p 和 q 中有且仅有一个为真，求实数 x 的取值范围； （2）若 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 参考答案 1．A 【分析】 x 利用基本不等式求得 x 2  3x  1 的最大值，再根据恒成立，即可求解，得到答案. 【详解】 x 1 1 1 1  2  �  5， 1 由题意，对任意 ，则有 x  3x  1 x  3x  1 x  1  3 2 x � 3 x x x0 x 2 当且仅当 x  1 1 x 时，即 时，等号成立，即 2 的最大值为 ， x 1 x x  3x  1 5 x 1 又由对任意 x  0 时， x 2  3 x  1 �a 恒成立，所以 a �5 ， 1 � � , �� � 5 �. 即 a 的取值范围为 � 故选：A. 2．D 【分析】 运用特殊值法，结合一元二次方程根的判别式进行判断即可. 【详解】 2 2 方程 x  bx  c  0 的判别式为： b  4c ， 2 2 当 c �0 时，方程 cx  bx  1  0 的判别式为： b  4c ， 选项 A：当 abc0 时， f ( x)  x3 , g ( x)  1 ，显然 | S | 1 且 | T | 0 ，故本选项结论有可能 成立； 选项 B：当 a  c  1, b  2 时， f ( x)  ( x  1)3 , g ( x)  ( x  1) 3 ，显然 | S | 1 且 | T | 1 结论有可能成立； 选项 C：当 a  1, c  1, b  2 时， f ( x)  ( x  1)( x  1)2 , g ( x)  ( x  1)( x  1) 2 ， ，故本选项 显然 | S | 2 且 | T | 2 ，故本选项结论有可能成立； 1 2 1 选项 D：因为 | T | 3 ，所以 c �0 且 a �0 且 b 2  4c  0 且 c ( )  b (  )  1 �0 ， a a 2 2 因此有 c �0 且 a �0 且 b  4c  0 且 ab �a  c ， 此时方程 x 2  bx  c  0 x 2  bx  c  0 有两个不相等的实根，因为 的实根，因此 | S | 3 ( a ) 2  ab  c �0 ，所以 a 不是方程 ，所以本选项不可能成立， 故选：D 【点睛】 方法点睛：运用特殊值法是解决此类问题常见的方法. 3．B 【分析】 1 1 1 由题设知 m  0 ，讨论 m   、 m   、 m   求不等式的解集，结合已知列方程组求 3 3 3 m、n，注意验证是否符合题设，进而可求 m  n . 【详解】 由题设， ∴ m0 (mx  1)( x  3)  0 的解集为  m, n  ， ， m  3 �m  3 � � � � 1 � 1 10 1 1 n   ，有 m  n   ， n 当 m   ，则 3  x  ，此时 � ，即 � 3 � � m 3 m 3 1 当 m   ，无解， 3 � 1 m � � m 1 1 当 0  m   ，则  x  3 ，此时 � n  3 ，无解， � 3 m 综上， m  n   10 . 3 故选：B 4．C 【分析】 令 f  x   ax 2  ax  1 f  x  �0 ，分别讨论 a  0 ， a  0 ， a  0 时，结合二次函数的图象得出 的