专题三：圆锥曲线的方程专题-高二上学期数学《考点·题型·难点》期末高效复习 高频考点梳理 考点一：椭圆 1.平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两 焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a>0，c>0，且 a，c 为常数： (1)若 a>c，则集合 P 为椭圆；(2)若 a＝c，则集合 P 为线段；(3)若 a<c，则集合 P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0) －a≤x≤a －b≤x≤b －b≤y≤b －a≤y≤a 图形 范围 对称性 性 顶点 质 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2 考点二．双曲线 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲 线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0. (1)当 2a<|F1F2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 2a＝|F1F2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当 2a>|F1F2|时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) x≥a 或 x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a 或 y≥a 图形 性质 范围 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 叫 实虚轴 做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0) 考点三．抛物线 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，直 线 l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 方程 p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 焦点 y＝0 x＝0 F F 离心率 F F e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 技巧归纳： 1．抛物线 y2＝2px (p>0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F 的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 2．y2＝ax 的焦点坐标为，准线方程为 x＝－. 3．设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点 F 的弦， 若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α 为弦 AB 的倾斜角)． (3)以弦 AB 为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于 2p，通径是过焦点最短的弦． 考点四：直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或 ay2＋by＋c＝0)． (1)若 a≠0，可考虑一元二次方程的判别式 Δ，有 ①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；② Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③ Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离． (2)若 a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 E 相交，且只有一个交点， ① 若 E 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ② 若 E 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 考点五:圆锥曲线的弦长 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|. 高频题型归纳 题型一：椭圆的定义和性质问题 1．（2021·河北迁安·高二期末）已知圆 M ：  x  2 2  y 2  36 垂直平分线交 MA 于点 P ，则 P 点的轨迹 C 的方程是（ x2 y2  1 3 A． 4 ） x2 y2  1 5 B． 9 ，定点 N  2, 0  ， A 是圆 M 上的一动点，线段 AN 的 x2 y2  1 4 C． 3 2．（2021·广东江门·高二期末）已知椭圆 x2 y2  1 9 D． 5 C: x2 y2 3  2  1 a  b  0  2 F F a b 的左右焦点分别为 1 ， 2 ，离心率为 3 ，过 F2 △ AF1 B 4 3 l C A, B C 的直线 交 于 两点，若 的周长为 则，椭圆 的方程为（ x2 y2  1 2 A． 3 x2  y2  1 B． 12 x2 y 2  1 C． 12 8 x2 y2  1 D． 12 4 3．（2021·四川·内江市教育科学研究所高二期末（文））以椭圆 C: ） x2 y2   1 a  b  0  a 2 b2 的短轴的一个端点和两焦 点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆 C 上的点到左焦点的最大距离为 6，则椭圆 C 的标准方程为（ x2 y2  1 3 A． 4 x2 y2  1 4 B． 8 x2 y 2  1 C． 16 12 x2 y2  1 D． 64 48 ） 题型二：椭圆的离心率问题 x2 y2  1 4．（2021·浙江·杭州市西湖高级中学高二期末）设 O 为坐标原点， F1 ， F2 是椭圆 a 2 b 2 （ a  b  0 ）的左、  3 右焦点，若在椭圆上存在点 满足 �F1 PF2  3 ，且 OP  2 a ，则该椭圆的离心率为（ P 1 A． 2 3 1 C． 2 1 B． 4 ） 2 D． 2 x2 y2 C： 2  2  1( a  b  0) 5．（2021·河北邯郸·高二期末）已知椭圆 a 的左､右焦点分别为 F1 ， F2 ，过 F2 直线与椭圆 C b uuuu r uuuu r uuur uuuur NF MD � NF  0 MF 1 / / DF2 N 1 1 交于 M ， 两点，设线段 的中点 D ，若 ，且 ，则椭圆 C 的离心率为（ 1 A． 3 3 B． 3 ） 2 D． 2 1 C． 2 x2 y 2   1 a  b  0  6．（2021·浙江杭州·高二期末）已知椭圆 C ： a 2 b 2 的右焦点为 F ，点 P ， Q 为第一象限内椭圆上 的两个点，且 �OFP  �PFQ  60� ， FP  2 FQ ，则椭圆 C 的离心率为（ A． 1 2 B． 1 3 C． 2 3 ） D．2 题型三：双曲线的定义和性质问题 7．（2021·北京市第十九中学高二期末）设点 1 之积为定值 3 ，点 M 的轨迹是（ ） A( 3, 0) ， B ( 3, 0) ， M 为动点，已知直线 AM 与直线 BM 的斜率 x2  y 2  1 y �0  A． 9 y2  x 2  1 y �0  B． 9 x2  y 2  1 y �0  C． 3 y2  x 2  1 y �0  D． 3 x2 y 2  1 8．（2021·黑龙江·哈师大附中高二期末（理））设双曲线 C： a 2 b 2 （a>0，b>0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 5 A．1 ．P 是 C 上一点，且 F1P⊥F2P．若△PF1F2 的面积为 4，则 a=（ B．2 C．4 ） D．8 x2 y2 9．（2021·安徽·六安一中高二期末（理））已知双曲线 a 2  b2  1(a  0, b  0) 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴 的直线与双曲线交于 A, B 两点.设 A, B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2 ，且 d1  d 2  6, 则双曲线的方 程为 x2 y 2  1 A． 3 9 x2 y 2  1 3 B． 9 x2 y 2  1 C． 4 12 x2 y2  1 D． 12 4 题型四：双曲线的离心率问题 x2 y2 10．（2021·广东潮州·高二期末）已知 A, B, C 是双曲线 a 2  b2  1(a  0, b  0) 上的三个点， AB 经过原点 O ， AC 经 2 AF  CF 过右焦点 F ，若 BF  AC 且 ，则该双曲线的离心率是（ ） 17 C． 2 17 B． 3 5 A． 3 9 D． 4 x2 y2  2  1 a  0, b  0  2 b 11．（2021·浙江浙江·高二期末）已知 F1 ， F2 是双曲线 C ： a 的左，右焦点，过点 F1 倾斜角 为 30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点 A ， B .若 A． 2 B． 3 AF2  BF2 C．2 ，则双曲线 C 的离心率为（ D． ） 5 x2 y2  1 12．（2021·辽宁·高二期末）已知双曲线 a 2 b 2 （ a  0 ， b  0 ）的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，圆 x 2 +y 2  a 2  b 2 p  4 2S A． 3 与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为 ，则该双曲线的离心率为（ A B ， ，四边形 AF2 BF1 p S