2021-2022 学年高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．已知集合 A＝{x|（x+3）（x﹣1）＜0}，B＝{x|log2x＜1}，则 A∩B＝（　　） A．（﹣3，0） B．（0，1） 2．已知命题 p：∀x∈（0， C．（0，2） D．（﹣∞，1） ），sinx＜tanx，则￢p 是（　　） A．∀x∈（0， ），sinx⩾tanx B．∃x∈（0， ），sinx＞tanx C．∃x∈（0， ），sinx⩾tanx D．∀x∉（0， ），sinx⩾tanx 3．已知 θ∈（ A． ，2π），cosθ＝ ，则 B． ＝（　　） C． D．2 4．甲、乙两人准备参加驾照科目一的考试，满分为 100 分，现统计了以往两人 10 次模拟 考试的成绩，如茎叶图所示，则下列说法错误的是（　　） A．甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数 B．甲成绩的众数大于乙成绩的众数 C．甲成缋的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数 5．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的．这七块板可拼 成许多图形（1600 种以上），如图所示，某同学用七巧板拼成了一个“鸽子”形状，若从 “鸽子”身上任取一点，则取自“鸽子头部”（图中阴影部分）的概率是（　　） A． B． C． D． 6．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图的外轮廓是正方形，正视图和侧视图为等 腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（　　） A．6π 7．已知双曲线 C： B．8π C．12π D．16π ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为 F（c，0），一条渐近线被圆 （x﹣c）2+y2＝c2 截得的弦长为 2b，则双曲线 C 的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 S＝4，则判断框内应填入的条件是（ 　） A．k⩾15？ B．k＜15？ C．k⩾16？ 9．在正四棱锥 P﹣ABCD 中，AB＝2，PA＝ D．k⩾32？ ，E 为 PA 的中点，则异面直线 BE 与 PC 所 成角的余弦值为（　　） A． B． C． 10．已知 3a＝2b＝log2c＝6，则 3a，2b， A． D． 的大小关系为（　　） B． C． 在区间[ 11．已知函数 D． ， ]上单调递减，则下列说 法正确的是（　　） A．ω＝3 B．直线 为 f（x）图象的一条对称轴 C．f（x）的图象关于点（ D．f（x）在[0， ，0）成中心对称 ]上的最小值为﹣1 12．已知拋物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，O 为坐标原点，过点（2，0）的直线与抛物线 C 交于 A，B 两点，且|AF|+|BF|＝7，则△OAB 的面积为（　　） A． B．6 C． D．8 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知实数 x，y 满足不等式组 则 z＝2x+y 的最大值与最小值之和为 ． 14．在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为正方形，AB＝2，AA1＝3，∠A1AB ＝∠A1AD＝θ，若 AC1＝5，则 cosθ＝　 　． 15 ． 已 知 数 列 {an} 的 各 项 均 为 正 数 ， Sn 为 其 前 n 项 和 ， a1 ＝ 1 ， Sn+Sn﹣1 ＝ （n⩾2，n∈N*）．令 bn＝ ，则数列{bn}的前 25 项和是 　 　． 16．在△ABC 中，BC＝4，cos（B﹣C）+3cosA＝0，则△ABC 面积的最大值为 　 　． 三、解答题（第 17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 17．已知集合 A＝{x|y＝ln（﹣x2+8x+20）}，非空集合 B＝{x|1﹣t⩽x⩽1+t}．若 x∉A 是 x∉B 的必要条件，求实数 t 的取值范围． 18．已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，直线 l：x＝4 交抛物线 C 于 P，Q 两点，且△OPQ 为等腰直角三角形． （1）求抛物线 C 的标准方程； （2）已知点 M（3，0），且⊙M 与直线 l 相切．设 F 为扰物线 C 的焦点，过点 F 与⊙M 相切的直线 l1 交抛物线 C 于 A，B 两点，求 AB 的长． 19．已知钝角△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ______，4bsinA＝ bcosA+asinB，a＝1，求 c 的值． （1）从条件① sinA＝ b，② sinC＝ sinB 中选择一个填到横线上，并解决问题； （2）以（1）中结论为条件，若 D 是边 AC 上一点，且 AD＝2DC，求线段 BD 的长度． 20．已知数列{an}是各项均为正数的数列，且 （1）若 bn＝ +⋯+ +n，n∈N*． ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn； （2）是否存在正整数 c，使 Tn⩽14n﹣2c 的解集中 n 的值有且仅有 3 个？若存在，请求 出 c 的值；若不存在，请说明理由． 21．在矩形 ABCD 中，E 是 DC 的中点，且 AB＝2BC，如图 1．将△DAE 沿 AE 折起，使 ，如图 2． （1）求证：平面 DAE⊥平面 BDE； （2）求平面 DAB 与平面 DCE 所成二面角的正弦值． 22．已知椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的短轴长为 2，直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，点 P（b， ）在椭圆 C 上，且直线 PA 与 PB 关于直线 x＝1 对称． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求△PAB 的面积 S 的最大值．