秘密★启用前 2022 届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一） 理科数学 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）    2 1．已知集合 A  x x  4 x  12  0, x �Z ， B  x A．  2, 2  B． 2．已知复数 z 满足  2, 2  C． z  1  2i   1  i A．第一象限  x  2  2 ，则 A �B  （  2, 1, 0,1, 2 D． ，则 z 的共扼复数对应的点所在象限为（ B．第二象限 C．第三象限 ）．  2, 1, 0,1 ）． D．第四象限 3．贵州六马盛产“蜂糖李”，其以果大味甜闻名当地．网红“李子哥”以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，大 力推进绿色发展，现需订购一批苗木，苗木长度与售价如下表．由表可知苗木长度 在线性相关关系，回归方程为 x cm y/元 ①若 ②若 ③若 ．当苗木长度为 120cm 时，估计价格为（ 10 20 30 40 50 60 2 6 10 14 16 18 A．36.5 4．已知 yˆˆ 0.3 x  a B．35  ， m  a m �  ， ， C．37 与售价 y/元之间存 ）元． D．35.5 是两个不同平面，m，n 是两条不同直线，给出下列命题： m � m∥  ， x cm n � ，则 ，则 ， a m m∥  ； ， ； n∥  ，则 ∥  ； ④ 若 m   ， n∥  ，则 m  n ． 其中正确命题的个数为（ A．0 B．2 ）． C．1 D．3 5．如图，达摩院青橙奖分别由陈杲、方璐（女）、金鑫、刘渊、陆盈盈（女）、王权、王志俊、韦东奕、赵 慧蝉（女）、朱飞虎共 10 位青年科学家获得，每人获得奖金 100 万元，这也是青橙奖颁奖以来女科学家获奖 人数首次达到三人．为了向他们表示敬意，某视频网站 UP 主准备从中随机选择三位科学家将他们的经历做 一期视频，要求所选的三人中至少有一名女科学家，则有多少种不同的选择（ ）． A．120 B．63 C．85 D．210 �x  y  1 �0 � x  y  2 �0 的平面区域内随机取一点 6．在满足不等式组 � ，设事件 A 为“ 1 ”，那么事件 y  x0 �y �0 0 P x , y  0 0 � 2 A 发生的概率为（ 4 A． 27 ）． 13 B． 25 8 C． 27 3 D． 4 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ B． 6  2 5 A．4 8．已知 2 0    A．  11 C． 2  2 5 ）． D．6 π 4 2 tan   cos       5 ，则 cos  2     （ 2且 3 ，则 5 11 5 B．  25 5 C． 25 ）． 2 5 D． 25 uuuu r uuur uuur uuur AM  3 MB AN  NC ，CM 与 △ ABC 9．如图，在 中，点 M 是 AB 上的点且满足 ，N 是 AC 上的点且满足 uuu r r uuur r uuur AB  a AC  b BN 交于 P 点，设 ， ，则 AP  （ ）． 1r 1r a b A． 2 4 3r 1r a b B． 5 5 10．已知 F1 ， F2 分别是双曲线 C: 1r 1r a b C． 4 2 3 r 3r a b D． 10 5 x2  y2  1 的左、右焦点，动点 P 在双曲线的左支上，点 Q 为圆 4 G : x 2   y  2   1 上一动点，则 PQ  PF2 的最小值为（ 2 A．6 B．7 C． ）． 3 5 D．5 π g x  sin  x   0       11．函数 的图象向右平移 3 个单位得到函数 f  x  ，且 f  x  在  π, 2π  内没有零 点，则  的取值范围是（ ）． � 2� 0, � A． � � 3� 1 2� � 1� � 0, ��� , � � B． � 6 � � 3 3� � 1� 0, 1 2� � 1� � 0, ��� , � D． � 3 3� � 6� � � C． � � 6� 12．已知 a  3 2 ， b   1  e  ， c  4 3 ，则 a，b，c 的大小关系为（ 1 e 1 A． b  a  c 1 B． c  b  a C． c  a  b ）． D． a  b  c 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知  an  为等差数列， Sn 为其前 n 项和．若 a1  7 ， S3  15 ，则 a8  ______． 6 � 1� x  �的展开式中的常数项为______． 14．  1  2x  � � x� 2 1 1  15．已知 x，y 为正实数，且 x  y  2 ．则 x y 的最小值为______． A  1, 0  B  1, 0  16 ．已 知 △ ABC 中 ，点 ，点 ， 内角 A， B， C 的 对边 分别 为 a ，b ， c，面 积为 S， 且 a 2  b2  c2  4 3 S ，则满足条件的点 C 的轨迹长度为______． 3 三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分） 设 S n 是数列  an  的前 n 项和， an �0 ， a1  1 ，当 n �2 时， S n 1  an ． （1）求数列 （2）若  an  的通项公式； cn  an 1  2n ，求数列  cn  的前 n 项和 Tn ． 18．（本小题满分 12 分） 某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为 100 万件的生产线，已知该产品的质量以某项指标值 k 为衡量标准．为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了 100 件该产品，统计了每个产 品的质量指标值 k，并分成以下 5 组，其统计结果如下表所示： 质量指标值  5, 6   6, 7   7,8  8,9   9,10 频数 16 30 40 10 4 试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值） （1）由频率分布表可认为，该产品的质量指标值 k 近似地服从正态分布 N   ,  2  ，其中  近似为样本平均 数 x ，  近似为样本的标准差 s，并已求得 s �0.82 ．记 X 表示某天从生产线上随机抽取的 10 件产品中质量 指标值 k 在区间  5.42, 7.88 之外的个数，求 P  X  1 及 X 的数学期望（精确到 0.001）； （2）已知每个产品的质量指标值 k 与利润 y（单位：万元）的关系如下表所示（ 质量指标值 k  5, 6   6, 7   7,8  8,9   9,10 利润 y 5t 3t 2t t 5t 2 t � 6, 7  ）： 假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为 500 万元，问：该厂能否在一年之内通过销售 该产品收回投资？试说明理由． 参考数据：若随机变量 Z  N   ,  2  ，则 P      Z �     0.6827 ， P    2  Z �  2   0.9545 ， P    3  Z �  3   0.9973 9 ， 0.8186 �0.1651 ． 19．（本小题满分 12 分） 如图甲，平面图形 ABCDE 中， AE  ED  DB  BC  1 ， CB  BD ， ED∥ AB ， �EAB  60�．沿 BD uuur uuur EG  BF ． △ BCD BF  BE 将 折起，使点 C 到 F 的位置，如图乙，使 ， （1）求证：平面 GEBF  平面 AEG； 3 （2）点 M 是线段 FG 上的动点，当 GM 多长时，平面 MAB 与平面 AEG 所成的锐二面角的余弦值为 4 ？ 20．（本小题满分 12 分） 如图，点 M 是圆 A : x   y  1  16 上任意点，点 B  0,1 ，线段 MB 的垂直平分线交半径 AM 于点 P，当 2 2 点 M 在圆 A 上运动时， （1）求点 P 的轨迹 E 的方程； （2） BQ∥ x 轴，交轨迹 E 于 Q 点（Q 点在 y 轴的右侧），直线 l : x  my  n 与 E 交于 C，D（l 不过 Q 点） 两点，且 CQ 与 DQ 关于 BQ 对称，则直线 l 具备以下哪个性质？证明你的结论？ ① 直线 l 恒过定点；② m 为定值；③ n 为定值． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 （1）若 f  x    ax 2  x ln x  2 f  x ． 有两个极值点，求实数 a 的取值范围； （2）当 a  0 时，证明： f  x  x  2 x． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的 题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 �x  3 cos  （ 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴 �y  sin   在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 � 为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）在平面直角坐标系 xOy 中， A  3, 0  ， B  0, 3 ，M 点是曲线 C 上任意点，求 △ ABM 面积的最大值，