基本不等式 知识归纳： 1、重要不等式：对于任意实数 a, b ，有 a 2  b 2 2ab （1）实质是实数平方的非负性，不等式中 a, b ，（当且仅当 a b 时取等号） 的取值既可以是某个具体的数，也可以 是一个代数式. a2  b2 ab  ,4ab a 2  b 2  2ab, （2）不等式 a 2  b 2 2ab 可以变形为 2   2 a 2  b 2  a  b  等形式. 2 a b  ab 2、基本不等式：如果 a, b  (0,) ，那么 2 （当且仅当 a b 时取等号） a b 其中， 2 叫作正数 a, b 的算术平均数， ab 叫作正数 a, b 的几何平均数. 3、拓展一：两个不等式常用变形及推广式 b a b a  2   2 （1） a b （ a, b 同号）； a b （ a, b 异号） 1 1 4 a2   (a, b  0) 2a  b(a  0, b  0) （2） a b a  b ；（3） b （4） （6） a2  b2  ( a  b) 2 a1  a2   an n ( a, b  R )  a1 a2 an ；（5） 2 n (a1  a2   an )( 1 1 1    ) n 2 a1 a2 an 4、拓展二、均值不等式链 2 设 a, b  R * ，则 1  1 a  ab  b a b a 2  b2  2 2 （调和均值≤几何均值≤算术均值≤平 方均值） 3 a b c a2  b2  c2 3 abc   3 3 推广： ，则 1  1  1 当且仅当 * a , b, c  R a b c a b c 时等号成立 考点一：利用基本不等式比大小 例1、已知 a, b  R ，且 ab＞0 ,则下列结论恒成立的是（ A. a  b ＞2ab B. a  b 2 ab 2 2 1 1 2  ＞ C. a b ab 练 1.1、设 0＜a＜b ，则下列不等式中正确的是（ A. C. a＜b＜ ab＜ a＜ ab＜b＜ a b 2 a b 2 B. D. a＜ ab＜ ab＜a＜ A. b a  2 D. a b ） a b ＜b 2 a b ＜b 2 练 1.2、对于 a＞0，b＞0 ，下列不等式中不正确的是（ ab 1 1 ＜  2 a b ）  a b  a2  b2  B. ab  C. ab   2  2 ） 2 2 a2  b2  a b    D.  2  2  考点二、利用基本不等式证明不等式 例2、无 附 加 条 件 的 不 等 式 证 明 a 2 b2 c 2   a  b  c . 已知 a, b, c＞0 ，求证： b c a b c c  a a b   6 练 2.1、设 a, b, c 都是正数，求证： a b c 例3、有附加条件的不等式证明 已知 a＞b，ab 1 ，求证： 练 3.1、 已知 a 2  b 2 2 2  a  b  a  0, b  0, a  b 1 1 1 (1  )(1  ) 9 （1）求证： a b 1 1 1   8 （2）求证： a b ab 最值定理：和定积最大，积定和最小 已知 x, y 都是正数. （1）如果它们的积为定值 P ，那么当 x y 时，它们的和 x y 有最小值 2 P； 1 2 S x  y xy （2）如果它们的和为定值 S ，那么当 时，它们的积 有最大值 4 （高三）均值不等式链的拓展 a b a 2  b2 ab   设 a, b  R * ，则 2 2 2 a2  b2  a b  ab     拓展形式：设 a, b  R ，则 2  2  设 a, b  R ， a2  b2  p .则 a  b 的最值及 ab 的最值. 2 a 2  b2  a  b     （1） 2  2  p a2  b2 a  b     2 p a  b  2 p 2 2 2 a 2  b2 p p p  ab  ab   ab  （2） 2 2 2 2 考点三、利用基本不等式求最值 方法一：配凑法 例4、求下列函数的最值 （1）已知 x＞0，求y 2  x  4 1 y x  x 的最大值. （2）已知 x＞2 ，求 x  2 的最小值 （3）已知 0＜x＜ 1 1 y  x 1  2 x  的最大值. 2 ，求 2 y2 x, y  R ，且x  1 2 （4）、已知 ，求 x 2 y 的最大值.（变：若条件改为 16 2  x, y  R ,其他条件不变，该怎么处理？） 练 4.1、函数  5 y 2 x 5  3 x , x   0,   3  的最大值为 . z 练 4.2、设正实数 x, y , z 满足 x  3 xy  4 y  z 0 ，则当 xy 取得最小值时， x  2 y  z 2 的最大值为（ A. 0 9 B. 8 练 4.3、若对任意的 ） C. 2 x＞0, 2 9 D. 4 x a 恒成立，则实数 a 的取值范围是 x  3x 1 2 . 方法二、常规代换法（“乘前除后”） 1 9  1 例5、已知 x＞0, y＞0, 且 x y ，求 x  y 的最小值. 1 1  1 练 5.1、若 a＞0，b＞0, 且 a  1 a  2b ，则 2a  b 的最小值为（ A. 2 5 B. 2 C. 4  2 3  练 5.2 、已知 a, b  R ，且 2a  2a  ） 1  3 D. 2 1 2 1 1，  b 2a  1 求a 的最小值. （若把条件“ ”改成“ b b 1 2 ”其他条件不变） b 1 1  练 5.3、已知正数 x, y 满足 x  y 1 ，求 1  x 1  2 y 的最小值 1 2   ab 练 5.4、若实数 a, b 满足 a b ，则 ab 的最小值为（ ） A. 2 B. 2 练 5.5.、若正数 24 A. 5 x, y C. 满足 2 2 D. 4 x  3 y 5 xy 28 B. 5 C. 5 ，则 3x  4 y 的最小值是（ ） D. 6 2b 1  练 5.6、已知 a  2b 1 a＞0，b＞0 ，则 a b 的最小值等于 （“1”的代换） 方法三、换元法（整体思想） 例6、已知 x＞  1, 求函数 练 6.1、设 x＞  1 ，求 y y x 2  7 x  10 的最小值. x 1  x  5 x  2 x 1 的最小值. 4 1  例7、实数 x, y ，满足 x＞y＞0且x  y 2 ，求 x  3 y x  y 的最小值. 1 1  练 7.1、若 x＞0，y＞0，且x  y 1 ，求 1  x 1  2 y 的最小值. 1 1  1 练 7.2、若 2 x＞y＞0 ，且 2 x  y x  y ，求 x  y 的最小值. 4x2 y2  练 7.3、正实数 x, y ，满足 2 x  y 2 ，求 y  1 2 x  2 的最小值. 方法四、消元法 例8、若 x＞0，y＞0, xy   x  y  1 练 8.1、若正实数 练 8.2、 已知 练 8.3、已知 x, y 满足 x  0, y  0 ，则 2 x  y  6 xy ， x y ，则 x  3 y  xy 9 xy ，则 x＞0，y＞0，x  2 y  xy 30， （1） xy 的取值范围； 的取值范围是 的最小值是 x  3y 求： 的最小值是 . . . （2） x  y 的取值范围. 和、积、平方和三量减元 例 9、若实数 x, y 练 9.1、已知实数 A. 1 B. 2 满足 x, y x 2  y 2  xy 1, 满足 C. 3 则 x y x 2  xy  y 2 1 ，则 的最大值是 x y 的最大值为（ . ） D. 4 x 4y 1 2 xy   2 练 9.2、已知 x＞0，y＞0 ， x, y 满足 y ，求 x  2 y  1 的最大值. x xy 练 9.3、设 a, b＞0，a  b 5, a2  练 9.4、已知 a＞b＞0， 求 练 9.5 、 记 max a, b 则 为 a  1  b  3 的最大值为 . 1 b(a  b) 的最小值. a, b 两 数 的 最 大 值 ， 当 正 数  25  t max  x 2 ,  y  x  y   的最小值为  . x, y  x＞y  变 化 时 ，