一轮复习大题专练 74—抛物线 8（求值问题） y 2  8x 1．已知抛物线 （1）若 M (3, 4) ，求使 的焦点为 F ，点 A ， B ， | AM |  | AF | （2）在（1）的条件下，若直线 BC 为抛物线上相异三点． 取得最小值时的 AB 和直线 AC 所以点 设点 A M (3, 4) y2  8x M 到准线的距离为 ， A M (3, 4) ， 在抛物线内， | AA1 | ， | AM |  | AF || AM |  | AA1 | 当点 ，点 ， A1 ， 三点共线时， | AM |  | AA1 | 最小， 此时点 A 的纵坐标为 4， 故点 A 的坐标为 （2）设 所以 因为 B( k1  (2, 4) ； y12 y2 , y1 ), C ( 2 , y2 ) 8 8 ，又 A(2, 4) ， y1  4 y 4 8 8  k2  22  2 y1 y1  4 ， y2 y2  4 ， 2 2 8 8 k1  k2  2k1k2 1 1  2 所以 k1 k2 ， ， A 点的坐标： 的斜率 的斜率． 1．解：（1）因为抛物线 则 C k1 ， k2 满足 k1  k2  2k1k2 ，求直线 故 y1  4 y2  4   2， 8 8 解得 y1  y2  8 故直线 ， 的斜率为 k BC 2．已知过抛物线 y2 )( x1  x2 ) y1  y2 8 8   1 2 2 y1 y y1  y2 8 ．  2 8 8 C : y 2  2 px( p  0) 两点， | AB | 16 的焦点，且斜率为 3 的直线交 C ． （1）求抛物线 C 的方程； （2） O 为坐标原点， 2．解：（1）直线 AB D 为 C 上一点，若 uuur uuu r uuur OD  OA   OB 的方程可表示为 y  3( x  p )， 2 �y 2  2 px � � p 与抛物线方程 2 联立可得方程组 �y  3( x  ) ， y  2 px � 2 y 12 x 2  20 px  3 p 2  0 消去 得 ， 解得 x1  p 3p ， x2  ． 6 2  ，求 的值． 于 A( x1 ， y1 ) ， B( x2 ， 由 | AB | 16 ，得 解得 p6 3p p   p  16 ， 2 6 ， 所以抛物线的方程为 （2）由（1）可得 设 D ( x3 y3 ) ， y 2  12 x A(1, 2 3) ． ， B(9, 6 3) ， uuur uuu r uuur ( x , y )  (1 � 2 3)   (9, 6 3) OD  OA   OB ，由 ，得 3 3 ， � �x3  1  9 � 所以 �y3  2 3  6 3 ， 因为点 D 在抛物线 C 上， 所以 (2 3  6 3 ) 2  12(1  9 ) ， 5 化简得 3 2  5  0 ，解得   0 或   ． 3 3．已知圆 O : x 2  y 2  16 ，点 P 是圆 O Q x 上的动点，过点 P 作 轴的垂线，垂足为 ． uuur uuuur QP  2QM M （1）若点 满足 ，求点 M 的轨迹方程； （2）若过点 B ， C 、 D N (2,1) ，并满足 3．解：（1）设 Q 过点 P  Q( x� , 0) 且斜率分别为 M k1 k2 的两条直线与（1）中 | NA | � | NB || NC | � | ND | 的坐标为 ( x, y ) ， Q x 作 轴的垂线，垂足为 ， ， ， P ，求 的坐标为 k1  k 2 的值． ( x� , y� ) ， M 的轨迹分别交于点 A 、 uuur uuuur ) 2QM  (2 x  2 x� , 2 y)  QP  (0, y � ， ， uuur uuuur Q QP  2QM ， x �x� �  2y ，  �y � 又Q 点 P 是圆 O 上的动点， 2 2  x�  y�  16 ，即 x 2  (2 y ) 2  16 ， x2 y2  1  16 4 ． （2）设 A( x1 ， y1 ) ， B( x2 ， y2 ) ， AB 所在的直线方程为 y  1  k1 ( x  2) ， �y  1  k1 ( x  2) �2 �x y2 联立直线 �  ，化简整理可得， ， 1 (1  4k12 ) x 2  8k1 (1  2k1 ) x  4(1  2k1 ) 2  16  0 16 4 � 则 x1  x2   x1 x2  8k1 (1  2k1 ) 8k1  16k12   1  4k12 1  4k12 ， 4(1  2k1 )2  16 16k12  16k1  12  ， 1  4k12 1  4k12 | NA | � | NB | ( x1  2)2  ( y1  1)2 �( x2  2)2  ( y2  1)2  ( x1  2)2  [k1 ( x1  2)]2 �( x2  2) 2  [k1 ( x2  2)]2  (1  k12 ) | x1  2 || x2  2 |  (1  k12 ) | x1 x2  2( x1  x2 )  4 |  (1  k12 ) | 4(1  2k1 ) 2  16 8k (1  2k1 ) 2 1 4| 2 1  4k1 1  4k12  8(1  k12 ) 1  4k12 ， 同理可得， | NC | � | ND | 8(1  k22 ) 1  4k22 ， Q| NA | � | NB || NC | � | ND | ， 8(1  k12 ) 8(1  k22 )  2 1  4k22 ，化简可得， k12  k22 ，  1  4k1 Q k1 �k2 又 ，  k1   k2 故 ， k1  k2  0 ． 4．已知抛物线 C : y 2  2 px( p  0) 的焦点为 F ，且点 F 与圆 M : ( x  4) 2  y 2  1 上点的距离 的最小值为 4． （1）求 C 的方程； （2）设点 和 P ， Q T (1 ， t )(2  t  2) 两点，且 | TA | � | TB || TP | � | TQ | 4．解：（1）由题意可知 F ( | FM | 1  4 C T A B ，过点 且斜率存在的两条直线分别交曲线 于 ， 两点 ，求直线 p ， 0) ， M (4, 0) ， 2 ， p  4 1  4 ， p2，  2 2  抛物线 C 的方程为 y  4 x ． AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和． （2）由题意可知，直线 AB 则直线 的方程为 AB PQ 和直线 y  k1 ( x  1)  t 的斜率存在且不为 0，分别设为 ，直线 PQ 的方程为 y  k2 ( x  1)  t k1 ， k2 ， ， �y  k1 ( x  1)  t � 联立方程 �y 2  4 x ，消去 y 得： k12 x 2  (2k1t  4  2k12 ) x  k12  t 2  2k1t  0 ， 由题意知△  0 恒成立， 设 则 A( x1 ， y1 ) ， B ( x2 ， y2 ) ， 2k12  4  2k1t k12  t 2  2k1t x x  1 2 ， ， k12 k12 x1  x2  | TA | � | TB | 1  k12 | x1  1| 1  k12 | x2  1| (1  k12 ) | x1 x2  ( x1  x2 )  1| (1  k12 ) | 同理可得 | TP | � | TQ | (1  k 2 2 ) | | TB || TP | � | TQ | 得， 由 | TA | � Q k1 �k2 ，  k1  k2  0 t2  4 | k2 2 ， (1  k12 ) | t2  4 t2  4 2 |  (1  k ) | | 2 k12 k22 ， ． 5 ．在平面直角坐标系 P (1, 2) t2  4 | k12 ， xOy 中，抛物线 C x 的顶点是原点，以 轴为对称轴，且经过点 ． （1）求抛物线 C 的方程； （2）已知直线 得直线 QA ， l : y  x  m QB 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，在抛物线 C 上是否存在点 Q ，使 y | QM || QN | Q N M 分别于 轴交于 ， 两点，且 ，若存在，求点 的坐标； 若不存在，请说明理由． xOy C Q 5．解：（1） 平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点是原点， P(1, 2) x 以 轴为对称轴，且经过点 ， 故可设抛物线的方程为 把点 P y 2  2 px 的坐标代入，可得 故抛物线的方程为 y2  4x 4  2p ， ，求得 p2 ， ． �y 2  4 x � （2）如图：由 �y   x  m ，可得 y 2  4 y  4m  0 ， Q △  16  16m  0 设抛物线 且 则 C  m  1 上存在点 | QM || QN | y0 2  4 x0 ， ， Q ( x0 y0 ) ， y1 � y2  4m ，使得直线 K QM  K QN  0 QA y1  y2  4 ， QB