一轮复习大题专练 73—抛物线 7（求直线的方程） 2 1．如图，已知抛物线 C1 : y  4 x ，椭圆 物线 C1 于 A ， （Ⅰ）求椭圆 （Ⅱ）当 B C2 ABG 两点（其中 的面积为 椭圆 24 2 C1 准线的距离； 时，求直线 C1 : y 2  4 x x2  y2  1 4 ．过点 E (m,0) 作椭圆 C2 的切线交抛 x G �AGE  �BGE ．在 轴上取点 使得 ． 的右焦点到抛物线 1．解：（Ⅰ）抛物线 C2 : m  2) C2 : AB ，则准线为 的方程． x  1 ， x2  y2  1 4 ，则右焦点为 F2 ( 3,0) ， 所以椭圆 C2 的右焦点到抛物线 C1 准线的距离为 3 1 ； （Ⅱ）因为 m  2 且直线 AB 与椭圆相切，所以直线 AB 的斜率必存在， 设直线 AB 的方程为 y  k ( x  m) ， �y  k ( x  m) �2 �x 联立方程组 �  y 2  1 ，可得 ， (4k 2  1) x 2  8k 2 mx  4k 2 m 2  4  0 �4 因为直线 AB 与椭圆相切， 所以△  64 k 4 m 2  4(4k 2  1)(4 k 2 m 2  4)  0 2 化简整理可得 k  ， 1 ， m 4 2 �y  k ( x  m) � 联立方程组 �y 2  4 x ，可得 k 2 x 2  (2k 2 m  4)  k 2 m 2  0 ， 设 则 设 则 A( x1 ， y1 ) x1  x2  G (t ,0) k AG  ， B ( x2 ， y2 ) ， 2k 2 m  4 , x1 x2  m 2 k2 ， ， y1 y , k BG  2 x1  t x2  t ， 因为 �AGE  �BGE ， 则 k AG  k BG  0 ， y1 y  2 0 所以 x1  t x2  t ，即 x2 y1  x1 y2  t ( y1  y2 )  0 ， 所以 即 将 x2 (kx1  km)  x1 ( kx2  km)  t (kx1  kx2  2km)  0 2kx1 x2  km( x1  x2 )  kt ( x1  x2 )  2kmt  0 x1  x2  2k 2 m  4 , x1 x2  m 2 k2 代入上式， 化简整理可得， m  t  0 ，即 t   m ， 所以 S ABG  1 | GE || y1  y2 | 2 ， ，  1 ( m  t ) k 2 ( x1  x2 ) 2 2  1 ( m  t ) k 2 [( x1  x2 ) 2  4 x1 x2 ] 2  1 16k 2 m  16 (m  t ) 2 k2  1 (m  t ) 16m 2  16m  64 2  2(m  t ) m2  m  4  24 2 化简可得， ， m 2 (m 2  m  4)  72 ， 因为 m  2 ，所以 m  3 ， 2 则k  所以 1 1  ， m 4 5 2 k � 5 5 ， 故直线 AB 的方程为 y� 5 ( x  3) 5 ． 2．已知斜率为 3 的直线 l 过椭圆 的中心关于直线 l 的对称点在直线 C: x2 y 2   1(a  b  0) a2 b2 的焦点以及点 (0, 2 3) ．椭圆 C x a2 c 上． （1）求椭圆 C 的方程； uuuur uuur 4 6 1 OM � ON  ? (O E (  2, 0) 3 tan �MON （2）过点 的直线 m 交椭圆 C 于点 M 、 N ，且满足 为坐标原点），求直线 m 的方程． 2．解：直线 l : y  3x  2 3 ①， 过原点垂直于 l 的直线方程为 联立①②解得 x  y 3 x 3 ，② 3 ， 2 因为椭圆中心 O(0, 0) 关于直做 l 的对称点在直线 x a2 c 上， a2 3  2�  3 2 所以 c ， 因为直线 l 过椭圆焦点， 所以该焦点坐标为 所以 c2 ， a2  6 (2,0) ， b2  2 ， ， x2 y 2  1 2 故椭圆 C 的方程为： 6 ． m （2）当直线 的斜率存在时，设 m : y  k ( x  2) ， 代入椭圆方程并整理得： (3k 2  1) x 2  12k 2 x  12k 2  6  0 设 则 M ( x1 ， y1 ) x1  x2   所以 ， N ( x2 ， y2 ) ， ， 12k 2 12k 2  6 , x � x  1 2 3k 2  1 3k 2  1 ，、 | MN | 1  k 2 | x1  x2 | 1  k 2 � ( x1  x2 ) 2  4 x1 x2  2 6(1  k 2 ) 3k 2  1 ， 所以 O 到直线 m 的距离 d | 2k | 1 k2 ， uuuur uuur 4 6 1 OM � ON  因为 3 tan �MON ， uuuur uuur 4 6 cos �MON | OM || ON | cos �MON  � 3 sin �MON ， 即 又由 uuuur uuur OM ON 0 ，得 cos й MON 0 ， uuuur uuur 4 6 OM || ON | sin �MON  3 ， 所以 所以 S OMN  2 6 3 ， 1 而 S OMN  �| MN | �d ， 2 所以 即 2 | MN | �d  4 6 3 ， 6(1  k 2 ) | 2k | 4 6 �  2 3k 2  1 3 ， 1 k 解得： k� 此时直线 3 3 ， m: y  � 3 ( x  2) 3 ， 当直线 m 斜率不存在时，直线 m : x  2 ，也满足； 经检验，上述直线均满足条件， 故直线 m 的方程为： y� 3 ( x  2) 3 或 x  2 ． 3．已知抛物线 y 2  2 px( p  0) 上横坐标为 4 的点 M 到焦点 F 的距离为 5． （Ⅰ）求 p 的值； （Ⅱ）如图，已知 AB 为抛物线上过焦点 F 的任意一条弦，弦 AB 的中点为 D ， DP 垂直 AB 与抛物线准线交于点 P ，若 | PD || AB | ，求直线 AB 的方程． p p 3．解：（Ⅰ）抛物线 y 2  2 px( p  0) 的焦点为 ( ,0) ，准线方程为 x   ， 2 2 由抛物线定义得 5  4  p ，所以 p  2 ； 2 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抛物线方程为 设直线 AB 的方程： 设 A( x1 ， y1 ) 由弦长公式 弦 AB 中点 ， B ( x2 x  my  1 ， y2 ) y2  4x ，与抛物线 ，则 ， y2  4x y1  y2  4m ， y 2  4my  4  0 x 联立，消去 ，整理得 ， y1 y2  4 | AB | x1  x2  2  m( y1  y2 )  4  4m 2  4 (2m 2  1 ， 2 m) ， ， ， y  2m   m( x  2m 2  1) y  2m3  4m x  1 故 弦 AB 的 垂直 平分 线方 程为 ，令 ，得 ，则 P (1, 2m 3  4m) ， 故点 P 到直线 AB 的距离 2m 4  4 m 2  2 所以 解得 1 m m�3 2 d  4m 2  4 | 1  m(2m 4  4m)  1| 1  m2  2 m 4  4m 2  2 1  m2 ， ， ， 所以直线方程为 x  � 3y  1 4．如图，椭圆 C: ． x2 y 2 3 6   1(a  b  0) ( 2, ) a2 b2 2 ， P 为椭圆上的 的离心率为 2 且经过点 一动点． （1）求椭圆 C 的方程； 8 2 2 （2）设圆 x  y  ，过点 作圆 O 的两条切线 l ， l ，两切线的斜率分别为 k ， k ． 5 1 2 1 2 P ①求 k1k2 的值； l1 A) C O x P Q A B ② 若 与椭圆 交于 ， 两点，与圆 切于点 ，与 轴正半轴交于点 （异于点 ， 且满足 S POB  SQOA l ，求 1 的方程． 4．解：（1）因为 因为点 e2  c2 a2  b2 3   a2 a2 4 ，所以 a  2b ， 6 2 6 )  2 1 2 4b 2 在椭圆上，所以 4b ，解得： a  2 2 ， b  2 ， ( 2, x2 y 2  1 2 所以椭圆方程为： 8 ； （2）①设 圆 心 P( x0 ， y0 ) O(0, 0) 到 ，切线 切 l : y  y0  k ( x  x0 ) 线 的 距 离 ，即 d kx  y  y0  kx0  0 | y0  kx0 | k2 1 r 2 10 5 整 理 可 得 ： 8 8 ( x02  )k 2  2 x0 y0 k  y02   0 ， 5 5 x2 8 8 (2  0 )  5 4 5 1 所以 k1k2  2 8  8 4， 2 x0  x0  5 5 y02  ② 因为 SPOB  SABCQOA 设切线为 l1 : y  kx  m ，所以 PB  AQ ，所以 xB  xP  xQ  xA ，所以 x A  xB  xP  xQ ， ， 8km 联立直线方程和椭圆方程可得： (4k