小题压轴题专练 40—计数原理 2 一．单选题 1．如图所示， A ， B ， C ， D 是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来， ( ) 则不同的建桥方案共有 　　 A．48 种 B．32 种 C．24 种 D．16 种 2．一辆单向行驶的汽车，满载为 25 人，全程共设 14 个车站，途中每个车站均可上下乘客， 由不同的起点到达不同的终点的乘客应购买不同的车票，在一次单程行驶中，车上最多卖 ( ) 出不同的车票的个数是 　　 A．63 B．65 * 3．设 a �N ，下列一定不是二项式 A．6 B． C．67 ( x  x 1 )a 5x 3 D．69 ( ) 展开式中的项的是 　　 C． 4x 2 D． 3x 1 4．将 6 个数 2，0，1，9，20，19 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不为 0) ， ( ) 则产生的不同的 8 位数的个数是 　　 A．546 5．若 B．498 ( x  2)10  a0  a1 x  a2 x 2  � � �  a10 x10 A． C． a0  1024 | a0 |  | a1 |  | a2 |  � � �  | a10 | 310 C．516 ， x �R D．534 ( ) ，则下列结论正确的是 　　 B． D． a1  a2  � � �  a10  1 a1  2a2  3a3  � � �  9a9  10 6．将 12 个相同的小球分给甲、乙、丙三个人，其中甲至少 1 个，乙至少 2 个，丙至少 3 ( ) 个，则共有 　　 种不同的分法． A．24 B．26 C．28 D．30 7．从 0，1，2，3， � ，9 中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被 3 整除的三位数 ( ) 个数为 　　 A．252 B．216 C．162 D．228 8．某城市街道的平面图如图所示，若每个路口仅能沿右、左上、右上三个方向走，从 A 至 B n m P Q A B 的路径条数有 条：若 、 两处因故施工，不能通行，从 至 的路径条数有 条， ( ) n m 则 ， 分别为 　　 A．1552；256 B．1440；256 C．1552；288 D．1440；288 二．多选题 9．设 (2 x  1)6  a0  a1 ( x  1)  a2 ( x  1)2  L  a6 ( x  1)6 A． B． C． ( ) ，下列结论正确的是 　　 a0  a1  a2 L  a5  a6  36 a2  a3  100 a1 ， a2 ， a3 ， L D．当 x  999 时， 10．关于 ( x  1)2020 ， a6 中最大的是 (2 x  1)6 a2 除以 2000 的余数是 1 ( ) 及其展开式，下列说法正确的是 　　 A．该二项展开式中二项式系数和是 1 6 C2020 x1007 B．该二项展开式中第七项为 C．该二项展开式中不含有理项 D．当 x  100 时， ( x  1) 2020 除以 100 的余数是 1 ( ) 11．有 6 本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是 　　 A．分给甲、乙、丙三人，每人各 2 本，有 90 种分法 B．分给甲、乙、丙三人中，一人 4 本，另两人各 1 本，有 90 种分法 C．分给甲、乙每人各 2 本，分给丙丁每人各 1 本，有 180 种分法 D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各 2 本，另两人各 1 本，有 2160 种分法 ( ) 12．用 0 到 9 这 10 个数字．可组成 　　 个没有重复数字的四位偶数？ A． B． C． D． A93  A41 gA81 gA82 A93  A41 g( A93  A82 ) A51 gA51 gA82  A41 gA41 gA82 A104  A93  A51 ( A93  A82 ) 三．填空题 13．设整数 n  4 ， ( x  2 y  1)n 的展开式中 x n4 与 xy 两项的系数相等，则 n  　　． 1 n 14．已知正整数 n�7 ，若 ( x  )(1  x) 的展开式中不含 4 的项，则 的值为 　　． x n x 15．2021 年，北京冬奥组委会召开记者招待会，组委会要从 6 个国内媒体团和 3 个国外媒 体团中选出 4 个媒体团进行现场提问，要求这四个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体 团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为　　 . （用数字作答） 16．某校高二年级共有 10 个班级，5 位数学教师，每位教师教两个班级，其中姜老师一定 教 1 班，张老师一定教 3 班，王老师一定教 8 班，秋老师至少教 9 班和 10 班中的一个班， 曲老师不教 2 班和 6 班，王老师不教 5 班，则不同的排课方法种数　　． 小题压轴题专练 40—计数原理 2 1．解：分为以下两类： 第一类，从一个岛出发向其他三岛各建一桥，共有 4 种方法； 第二类，一个岛最多建两座桥，但是下面这样的两个排列对应一种建桥方法， A B C  D 1 4 ， D  C  B  A ，要去掉重复的这样，因此共有 �A4  12 种方法． 2 根据分类计数原理，知道共有 4  12  16 种． 故选： D ． 2．解：车上应该准备每个车站到达后它后面每一个车站的车票， 所以一共应该准备 13  12  11  �  2  1  91 种， 但不可能在一场单程行驶中都卖的出去， 以前面 7 个车站中的每一个作为起点，后面 7 个车站作为终点，应当有 7 �7  49 种， 但持有这种票的乘客都要通过 7 号车站与 8 号车站之间， 但由于汽车满员为 25 人， 所以这种车票至少会有 49  25  24 种卖不出去， 所以车上最多卖出不同的车票个数是 91  24  67 种． 故选： C ． 1 k k a k k k a 2k 3．解：展开式的通项公式为 Tk 1  C a x ( )  (1) C a x ， x A ．当 a  2k  0 时，为常数项，此时 当 k  2 时， a  4 ，此时 B ．当 a  2k  3 C ka  6 时，此时 ， a  2k T3  6 a  2k  3 k ， 为偶数， ，故 A 有可能， k ， 为偶数， 当 k  4 时， a  5 ，此时 C ．当 a  2 k  2 时，此时 当 k  3 时， a  4 ，此时 D ．当 a  2 k  1 C ka  5 T5  5 x 3 a  2k  2 C ka  4 时，此时 ， ， ，但此时 a  2k  1 ，故 B 有可能， T4  4 x 2 ，故 C 没有可能， k ， 为偶数， C ka  3 T  3 x 1 k  2 a  3 当 时， ，此时 ，此时 3 ，故 D 有可能， 故选： C ． 4．解：根据题意，将 6 个数 2，0，1，9，20，19 将任意次序排成一行，拼成一个 8 位数， 由于 0 不能在首位，则有 5 �A55  600 个 8 位数， A55  60 其中“20”出现 2 次，即“2”与“0”相邻且“2”在“0”之前的排法有 A22 种， 4 A44  48 “19”出现 2 次，即“1”与“9”相邻且“1”在“9”之前的排法有 A22 种， A44 6 “20”和“19”都出现 2 次的排法有 A22 A22 种， 则满足题意的 8 位数有 600  60  48  6  498 个， 故选： B ． 5．解： 令 令 x0 x 1 根据 ( x  2)10  a0  a1 x  a2 x 2  � � �  a10 x10 ，可得 ，可得 a0  1024 ，故 A ， x �R ， 错误； a0  a1  a2  � � �  a10  1 ，故 ( x  2)10  a0  a1 x  a2 x 2  � � �  a10 x10 ， a1  a2  � � �  a10  1  a0  1023 ，故 B 错误； 可得 再令 ( x  2)10 | a0 |  | a1 | x  | a2| x 2  � � �  | a10| x10 x 1 ，可得 | a0 |  | a1 |  | a2 |  � � �  | a10 | 310 对已知等式两边求导，可得 令 x 1 ，可得 ，故 C 正确； 10( x  2)9  a1  2a2 x  � � �  10a10 x9 10  a1  2a2  � � �  9a9  10a10 由二项展开式的通项公式可得 所以 ， ， a10  C100 ( 2)0  1 a1  2a2  3a3  � � �  9a9  20 ，故 D ， ， 错误． 故选： C ． 6．解：先将 12 个球按甲 0 个，乙 1 个，丙 2 个进行分派； 剩余的 9 个相同的球，分成 3 组，每组至少 1 个球，9 个相同的球形成 8 个空位（不算首尾 的两个空位）中， 插入两个隔板，有即有 C82  28 种分法 故选： C ． 7．解：将 10 个数字分成三组，即被 3 除余 1 的有 ，被 3 整除的有 {3 ，6，9， 0} {1 ，4， 7} 、被 3 除余 2 的有 {2 ，5， 8} ． 若要求所得的三位数被 3 整除，则可以分类讨论： ① 三个数字均取第一组，或均取第二组，有 2 A33  12 个； ② 若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字 0，共有 ③ 若三组各取一个数字，第三组中不取 0，有 ④ 若三组各取一个数字，第三组中取 0，有 C31 gC31 gC31 gA33  162 C31 gC31 g2gA22  36 A43  A32  18 个； 个， 个，这样能被 3