课时训练　两角和与差的正弦、正切 一、选择题 1.(2021·南京高一检测)sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为(　　) A． B． C． D． 2．函数 f(x)＝sin 2x＋cos 2x 的单调递增区间是(　　) A． B． C． D． 3. 函数 y＝sin (x＋)＋cos 的最大值为(　　) A．2　　　B．　　　C．　　　D．1 4．(2021·叙永高一检测)化简求值＝(　　) A．－ B．－ C． D． 5．已知 α 为锐角，且 tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝2，则角 α 等于(　　) A．　 B．　 C．π　 D． 6．(2021·重庆高一检测)第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽 的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由 4 个全等的直角三角形与一个小正 方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为 4，大正方形的面积为 100，设 直角三角形中较大的锐角为 θ，则 tan ＝(　　) A． B． C．－7 D．－ 7．(1＋tan 17°)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)(1＋tan 28°)的值是(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 8．函数 f(x)＝sin x－cos (x＋)的值域为(　　) A． B． C． D． 9．(2021·南昌高一检测)已知角 α，β 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半 轴重合，若角 α 的终边过点(2，1)，cos (α＋β)＝且 β∈则 sin β＝(　　) A． B． C． D． 10．下面各式中，正确的是(　　) A．sin ＝sin cos ＋cos B．cos ＝sin －cos cos C．cos ＝cos cos ＋ D．cos ＝cos －cos 11．已知 0＜α＜β＜，且 tan α，tan β 是方程 x2－kx＋2＝0 的两不等实根，则下 列结论正确的是(　　) A．tan α＋tan β＝－k B．tan (α＋β)＝－k C．k＞2 D．k＋tan α≥4 12. 在△ABC 中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　　) A．A＋B＝2C B．tan ＝－ C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A 13．已知 f(x)＝sin －cos ，则 f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)的值为(　　) A．2 　 B．　 C．1 　　 D．0 二、填空题 14．已知 cos ＝sin ，则 tan α＝______． 15.函数 f(x)＝sin ＋sin 的最小正周期为________． 16．x2 ＋3ax＋3a＋1＝0 的两根分别为 tan α，tan β，且 α，β∈，则 α＋β＝ ________． 17．(2021·平顶山高一检测)已知 θ∈，sin θ＝－，则 tan ＝________． 三、解答题 18．已知 α 为第三象限角，若 tan ＝3，求 sin α. 19．已知函数 f(x)＝－cos 2x cos ＋sin 2x sin . (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若＜α＜β＜，f(α)＝，且 f(β)＝，求角 2β－2α 的大小． 20．(2021·温州高一检测)已知 f(x)＝sin 2x＋cos 2x(x∈R). (1)求 f 的值； (2)若 x∈，求函数 f(x)的取值范围． 21．是否存在锐角 α 和 β，使：(1)α＋2β＝π； (2)tan tan β＝2－同时成立？若存在，求出 α 和 β 的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 一、选择题 1.(2021·南京高一检测)sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为(　　) A． B． C． D． 【解析】选 B.sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71° ＝sin 11°cos 19°＋cos 11°sin 19° ＝sin (11°＋19°)＝sin 30°＝. 2．函数 f(x)＝sin 2x＋cos 2x 的单调递增区间是(　　) A． B． C． D． 【解析】选 A.f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ， 由 2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得 kπ－≤x≤kπ＋，(k∈Z)， 即函数的单调递增区间为(k∈Z). 3. 函数 y＝sin (x＋)＋cos 的最大值为(　　) A．2　　　B．　　　C．　　　D．1 【解析】选 A.y＝sin ＋cos ＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x＝ ＝2sin . 因为－1≤sin ≤1， 所以－2≤2sin ≤2，故函数的最大值为 2. 4．(2021·叙永高一检测)化简求值＝(　　) A．－ B．－ C． D． 【解析】选 A.因为 tan (12°－72°)＝＝tan (－60°)＝－， 所以＝＝－＝－. 5．已知 α 为锐角，且 tan (α＋β)＝3，tan (α－β)＝2，则角 α 等于(　　) A．　 B．　 C．π　 D． 【解析】选 C.因为 tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)] ＝＝＝－1， 所以 2α＝－＋kπ(k∈Z)， 所以 α＝－＋(k∈Z). 又因为 α 为锐角，所以 α＝－＝. 6．(2021·重庆高一检测)第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽 的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由 4 个全等的直角三角形与一个小正 方形拼成的一个大正方形，若小正方形的面积为 4，大正方形的面积为 100，设 直角三角形中较大的锐角为 θ，则 tan ＝(　　) A． B． C．－7 D．－ 【解析】选 B.根据题意，每个直角三角形的两条直角边的长度之差为 2、斜边 的长度为 10， 故设直角三角形较大直角边为 a，则另一直角边为 a－2，所以 a2 ＋(a－2)2 ＝ 100，解方程得 a＝8，所以 sin θ＝，cos θ＝，则 tan θ＝， 所以 tan ＝＝. 7．(1＋tan 17°)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)(1＋tan 28°)的值是(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 【解析】选 B.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)＝1＋ tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°，① 又 tan 45°＝tan (17°＋28°)＝， 所以①式＝1＋(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17° tan 28°＝2. 同理(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝2.所以原式＝4. 8．函数 f(x)＝sin x－cos (x＋)的值域为(　　) A． B． C． D． 【解析】选 B.因为 f(x)＝sin x－cos ＝sin x－ ＝sin x－cos x ＝＝sin ， 所以－≤f(x)≤，即函数 f(x)＝sin x－ cos 的值域为. 9．(2021·南昌高一检测)已知角 α，β 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半 轴重合，若角 α 的终边过点(2，1)，cos (α＋β)＝且 β∈则 sin β＝(　　) A． B． C． D． 【解析】选 C.因为角 α 的终边过点(2，1)，所以 α 是第一象限角，所以 sin α＝ ＝，cos α＝＝，因为 β∈，cos (α＋β)＝，所以 α＋β 为第一象限角， 所以 sin (α＋β)＝＝，所以 sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α ＝×－×＝. 10．下面各式中，正确的是(　　) A．sin ＝sin cos ＋cos B．cos ＝sin －cos cos C．cos ＝cos cos ＋ D．cos ＝cos －cos 【解析】选 ABC.因为 sin ＝sin cos ＋cos sin ＝sin cos ＋cos ，所以 A 正确； 因为 cos ＝－cos ＝－cos ＝sin －cos cos ，所以 B 正确； 因为 cos ＝cos ＝cos cos ＋，所以 C 正确； 因为 cos ＝cos ≠cos －cos ，所以 D 不正确． 11．已知 0＜α＜β＜，且 tan α，tan β 是方程 x2－kx＋2＝0 的两不等实根，则下 列结论正确的是(　　) A．tan α＋tan β＝－k B．tan (α＋β)＝－k C．k＞2 D．k＋tan α≥4 【解析】选 BCD.由 tan α，tan β 是方程 x2－kx＋2＝0 的两不等实根， 所以 tan α＋tan β＝k，tan α·tan β＝2， tan (α＋β)＝＝＝－k， 由 0＜α＜β＜，tan α，tan β 均为正数， 则 tan α＋tan β＝k≥2＝2， 当且仅当 tan α＝tan β 取等号，等号不成立． k＋tan α＝2tan α＋tan β≥2＝4， 当且仅当 2tan α＝tan β 取等号． 12. 在△ABC 中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　　) A．A＋B＝2C B．tan ＝－ C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A 【解析】选 CD.因为 C＝120°，所以 A＋B＝60°， 所以 2＝C，所以 tan ＝，所以选项 A，B 错误； 因为 tan A＋tan B＝＝， 所以 tan A·tan B＝①，又 tan A＋tan B＝②，所以联立①②解得 tan A＝tan B＝， 所以 cos B＝sin A，故选项 C，D 正确． 13．已知 f(x)＝sin －cos ，则 f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)的值为(　　) A．2 　 B．　 C．1 　　 D．0 【解析】选 D.f(x)＝sin － cos ＝2sin ＝2sin x，因为周期为 6，且 f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0， 所以 f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝0. 二、填空题 14．已知 cos ＝sin ，则 tan α＝______． 【解析】cos ＝cos αcos －sin αsin ＝cos α－sin α，sin ＝sin αcos － cos αsin ＝sin α－cos α， 所以 sin α＝cos α，故 tan α＝1. 答案：1 15.函数 f(x)＝sin ＋sin 的最小正周期为________． 【解析】由题意，函数 f(x)＝sin ＋ sin ＝sin 2x－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x＝sin 2x， 所以函数的最小正周期为＝π. 答案：π 16．x2 ＋3ax＋3a＋1＝0 的两根分别为 tan α，tan β，且 α，β∈，则 α＋β＝