汪清四中 2020—2021 学年度第二学期 高二年级数学（理科）期末考试试题 一、选择题 （本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） P 1．将点 (1, 3) 的直角坐标 � 4π � 2, � � A． � 3 � 化为极坐标是( ) � 4π � 2, � � B． � 3 � 2．若随机变量  的分布列如表所示，  0 P 0.1 A． - 0.2 � 2π � 2, � � C． � 3 � E     1.6 ，则 a  b  ( 1 2 3 a b 0.1 B．0.2 � 2π � 2, � � D． � 3 � ) D． - 0.8 C．0.8 3.将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每 名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有( ) A.60 种 4.在正方体 A. ABCD  A1 B1C1 D1 π 2 5.已知向量 A． B.120 种 B. 中，P 为 π 3 B． B1 D1 的中点，则直线 PB 与 C. r r a  (1,1, 0), b  ( 1, 0, 2) 1 C.240 种 π 4 D.480 种 AD1 所成的角为( ) D. π 6 r r r r ，且 ka  b 与 2a  b 互相垂直，则 k 的值是( ) 4 3 C． 5 3 D． 7 5 6.下列说法： ① 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变； ② 设有一个线性回归方程 yˆ  3  5 x ，变量 x 增加 1 个单位时，y 平均增加 5 个单位； ③ 设具有相关关系的两个变量 x, y 的相关系数为 r，则 r 越接近于 0，x 和 y 之间的线性相 关程度越强； ④ 在一个 2 �2 列联表中，由计算得 K2 的值，则 K2 的值越大，判断两个变量间有关联的把 握就越大． 以上错误结论的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7.“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛 中，凭着顽强战斗、勇敢拼搏的精神，五次蝉联世界冠军，为国争光.在 2019 年日本女排 世界杯上，中国队以 11 战全胜的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国 70 华诞献 上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯 MVP，她和颜妮、丁霞、王梦洁共同入选 最佳阵容，赛后 4 人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间位置，则朱婷和 王梦洁站在郎平同一侧的概率为( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 8.某工厂的每月各项开支 x 与毛利润 y （单位：万元）之间有如下关系， y 与 x 的线 性回归方程是 yˆ  6.5 x  a ，则 a ( ) x 2 4 5 6 8 y 3 4 6 5 7 0 A.-27.5 0 B.-27 0 0 C.-25 0 D.-25.5 n 1 � �2 x  � 9.已知 � x �的展开式中的各项系数之和为 32，则展开式中的常数项为( ) � A.5 B.10 C.20 10.已知随机变量 X 服从正态分布 A.0.1 11.已知曲线 面积为( ) B.0.2 y  x2 和曲线 y x N  3, 2  D.1 ，且 P ( X  1)  0.1 ，则 P(3 ≤ X ≤ 5)=¿ ( ) C.0.3 D.0.4 围成一个叶形图(如图中阴影部分),则其 A. 1 12.设函数 2 C. 2 1 B. 3 f ( x)  x(ln x  ax)(a �R ) �1 �  ,0� � A. � 2 � 在区间 � ln 2  1 � 0, � � 4 � C. B. � 1 D. 2 (0, 2) ( 上有两个极值点,则 a 的取值范围是( ) 0， 1 2 ) �ln 2  1 1 � , � � 2� D. � 4 二、填空题 （本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．请写出一个复数 z  ____________，使之同时具有如下性质：① z 2 ，② z 在复平 面中所对应的点位于第四象限． 14.曲线 y   ax  1 e x 在点  0,1 处的切线的斜率为-2，则 a  ________. 1 1 1 1 1 1 15.观察下列式子， ln 2  ,ln 3   ,ln 4    ,……，根据上述规律，第 n 个不等式 3 3 5 3 5 7 应该为_________________． 16．从 4 种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的 3 个格子涂色，每个格子涂一种颜色， 记件 A 为“相邻的 2 个格子颜色不同”，事件 B 为“3 个格子的 相同”，则 颜色均不 P  B A  ___________. 三、解答题 （本题共 6 小题，第 17 题 10 分，第 18 题至第 22 题每题 12 分，共 70 分） 17.（本题 10 分）甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个 项目，各单项通过考试的概率依次为，，.记甲同学三个项目中通过考试的个数 为 X，求随机变量 X 的分布列. 18.（本题 12 分） 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运 动员组队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运 动员 5 名，其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个 协会”，求事件 A 发生的概率； (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列. 19.（本题 12 分）如图，四棱锥 P  ABCD 的底面是矩形， PD  底面 ABCD， PD  DC  1 ，M 为 BC 的中点，且 PB  AM . （1）求 BC； （2）求二面角 A  PM  B 的正弦值. 20.（本题 12 分）中国探月工程自 2004 年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑 发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020 年 12 月 17 日凌晨，嫦娥五号返回 器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回.为了了解某中学高三学 生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了 100 名学生进行调查，调查样 本中有 40 名女生.下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥 五号”的部分）.附： 关注 没关注 合计 男 女 合计 关注 P  K 2 �k0  0.150 0.100 0.050 男 女 合计 0.010 没关注 0.005 合计 k0 K2  2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 n(ad  bc) 2 (a  b)(c  d )(a  c)(b  d ) ，其中 n  a  b  c  d （1）完成上面的 2×2 列联表，并计算回答是否有 95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与 性别有关”？ （2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取 3 人.记被抽取的 3 名女生中对 “嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期望. 21.（本题 12 分）已知函数 (1).求 a, b (2).若对 的值与函数 x �[1, 2] f  x ,不等式 f  x   x3  ax 2  bx  c 在 x 2 3 与 x  1 时都取得极值. 的单调区间; f  x   c2 恒成立,求 c 的取值范围. 1 � x t � 2 � l:� 3 （t 为参数）．以 22.（本题 12 分）在平面直角坐标系 中，已知直线 � y 3 t � xOy � 2 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 π   4sin(  ) ． 3 （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）设点 M 的直角坐标为 (0,3) ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A, B ，求 AB 的值． 汪清四中 2020—2021 学年度第二学期 高二年级数学（理科）期末考试试题 答案 一、选择题 （本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.C 7.B 8.A 9.A 10.D 11.B 12.D 1.C 2.A 3.答案：C 解析：本题考查排列与组合问题.根据题目条件知花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目中有 1 个项目分配 2 名志愿者，先分组再排列，可知不同的分配方案共有 C52 � A44  240 （种）. 4.答案：D 解析：本题考查立体几何中的线面关系及解三角形的应用.如图，记正方体的棱长为 a，则 AD1  C1 B  A1C1  B1 D1  2a ，所以 在 VBC1 P 中，由余弦定理得 cos �PBC1  B1 P  PC1  2 6 a BP  B1 P 2  B1 B 2  a 2 ， 2 . PB 2  C1 B 2  PC12 3 π  �PBC1  2 PB � C1 B 2 ，所以 6 .又因为 π AD1 //BC1 ，所以 �PBC1 即为直线 PB 与 AD1 所成的角，所以直线 PB 与 AD1 所成的角为 6 . 5.答案：D 解析： 6.答案：C 解析：①根据方差公式，将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后， 方差不变，故①正确；②设一个线性回归方程 yˆ  3  5 x ，变量 x 增加 1 个单位时，y 平均 减少 5 个单位，故②不正确；③设具有相关关系的两个变量 x，y 的相关系数为 r，则 r 越 接近于 0，x 和 y 之间的线性相关程度越弱，故③不正确；④在一个 2 �2 列联表中，由计算 得 K2 的值，则 K2 的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大