基本初等函数的导函数随堂检测 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1 1．设直线 y＝ 2 x＋b－1 是曲线 y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数 b 的值为（ ） 1 A．1－ln 2 B． 2 ln 2 2．定义方程 f  x  f �  x h  x   ln x   x   x3  x �0  （ ， 的实数根 x0 叫做函数 f  x D．2 的“新驻点”，若函数 g  x  2x ， 的“新驻点”分别为 a ， b ， c ，则 a ， b ， c 的大小关系为 ） 3．设 f1  x   sin x f 2020  x   （ ， f 2  x   f1�  x ， f3  x   f 2�  x f  x   sin x  cos x tan   （ f n 1  x   f n�  x ， n �N ，则 ， D．  cos x C． cos x B．  sin x 4．设函数 ，…， D． b  a  c ） A． sin x f  x 的导函数记为 f� ( x) ，若 � fαfα   3   ，则 ） A．2 5．已知 C． a  c  b B． c  b  a A． a  b  c A． C．ln 2 B． 2 f ( x)  sin  x  f � (1) x 2 B． 1 0 C．  2 ，则 f (1)  （ 1 2 D． 1 2 D．  ） C．  2 6．正弦曲线 y=sinx 上一点 P，以点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾斜角的范围 是 A．[0， C．[  3 ]∪[ ，π) 4 4  3 ] ， 4 4 二、多选题 B．[0，π) D．[0， 3   ]∪[ ， ] 2 4 4 ） 7．（多选）以下运算正确的是（ � 1 �1 � � 2 A． � �x � x B．  sin x  � cos x C．  2 x  � 2 x ln 2 � D．  lg x    8．下列说法不正确的是（ 1 x ln10 ） A．曲线的切线和曲线有且只有一个交点 B．曲线的切线和曲线可能有无数个交点  C．已知 y  ln 2 ，则 y� D．函数 f ( x)  x3 1 2 x 在原点处的切线为 轴 三、填空题 9．已知函数 （）（）（） f x  ax 2  x  1 e x  f ' 0 ，则 f（） ' 0 的值为___________ 10．函数 y=(x＋1)·(x－1)在 x=1 处的导数为________. 11．已知 f（x）=2x+3xf′（0），则 f′（1）=______． 12．设 f 0 ( x)  sin x f 2021 ( x )  ， f1 ( x)  f 0� ( x) ， f 2 ( x )  f1� ( x) � n �N + ，……， f n 1 ( x)  f n ( x) ， ，则 __________. 四、解答题 13．求下列函数的导数：  （1）f(x)＝ 5 x 4 ；（2）g(x)＝cos ；（3）h(x)＝3x. 4 14．氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有 500g 氢气，那么 t 天后，氢气的剩余量为 A  t   500 �0.834t g ． （1）氡气的散发速度是多少？ （2） A�  7 7 的值是什么（精确到 0.1）？它表示什么意义？（参考数据 0.834 �0.2806 ， ln 0.834 �0.1839 f  x 15．已知 ） 是二次函数， f�  x   f  x  1  x 2 （1）求 f  x S  t 的解析式； ，求 S  t y  f  x 的表达式. 16．求下列函数的导数： （1） y＝ 5 是它的导函数，且对任意的 x �R ， 恒成立. （2）设 t  0 ，曲线 C ： 形面积为 f�  x x3 ； 1 （2）y＝ x 4 ； x x (1  2 cos 2 ) ； （3）y＝ 2sin � 2 4 （4）y＝log2x2－log2x. 在点 P  t, f  t   处的切线为 l ， l 与坐标轴围成的三角 参考答案 1．C 【分析】 1 求出函数导数，根据题意可得函数在切点处的导数值为 2 ，即可求出切点，代入直线即可 求出. 【详解】 1 � Q y  ln x ， y  x ， 设切点为(x0，y0)，根据导数几何意义，得 y�x  x0  1 1  x0 2 ， 解得 x0＝2，代入曲线方程得 y0＝ln 2. 1 故切点为(2，ln 2)，将该点坐标代入直线方程得 ln 2  �2  b  1 ，解得 b＝ln 2. 2 故选：C. 2．B 【分析】 先求出给定的各函数的导数，再根据给定条件确定 a ， b ， c 的值或所属区间即可得解. 【详解】 由 g  x   2x 得 g�  x  2 ，解方程 g  x  g�  x ，即 2 x  2 ，得 x  1 ，即 a  1 ； 1 1 1  x   ，解方程 h  x   h� 由 h  x   ln x 得 h� ，即 ln x  ，令 F ( x )  ln x  ，显然 F ( x) x   x x x 在 (0, �) 单调递增， F (1)  1  0, F (2)  ln 2  由   x   x 3  x �0  c  3， 所以 c  b  a . 得 1 1  ln e   0 ，则存在 x �(1, 2) ，使得 F ( x )  0 ，即 1 b  2 ； 0 0 2 2 �  x   3x 2 ，解方程   x  �  x ，即 x 3  3x 2  x �0  ，得 x  3 ，即 故选：B 3．D 【分析】 利用求导的公式计算 f1  x  , f 2  x  , f3  x  , f 4  x  , f 5  x  …，可得函数 fn  x  的周期为 4 ，利用 周期计算即可. 【详解】 由题意， f1  x   sin x f 4  x   f 3�  x    cos x f n  4  x   f n  x  , x �N f 2  x   f1�  x   cos x ， ， f 5  x   f 4�  x   sin x ，所以 ， f3  x   f 2�  x    sin x ，…，所以可得函数 f 2020  x   f 4  x    cos x ， fn  x  的周期为 4 ，即 . 故选：D. 4．C 【分析】 根据三角函数的导函数求 f� ( x) ，由已知可得  cos   2sin  ，即可求 tan  . 【详解】 f �( x)  cos x  sin x ∴ ，由 � fαfα   3 cos   sin   3(sin   cos  )   ，即 ，  cos   2sin  1 ∴ tan    2 . 故选：C 5．D 【分析】 (1) ，再代值计算即可 先求导，再令 x  1 ，求出 f � 【详解】 ， Q f ( x )  sin  x  f � (1) x 2 f� ( x )   cos  x  2 f � (1) x f� (1)   cos   2 f � (1) (1)   解得： f �  f (1)  sin   f � (1)   故选：D. 【点睛】 本题解题关键是掌握常见导数的求法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 6．A 【分析】 先对函数解析式求导，进而利用余弦函数的性质求得导函数的范围，进而求得切线的斜率 的范围，则直线的倾斜角的范围可得． 【详解】  cos x . 由函数 y  sin x ，得 y � 设 P  x0 , y0  ，则以点 P 为切点的切线 l 的斜率为 k  cos x0 �[1,1] . 设以点 P 为切点的切线 l 的倾斜角为  ，则 tan   k �[ 1,1] . 3 �� � 0，， U� � �  � [0,  ) 4 由 ，得 � � �4 � � � 故选：A 【点睛】 本题考查导数的几何意义，根据斜率的范围求倾斜角的范围，考查了学生对基础知识的灵 活运用．属于基础题. 7．BC 【分析】 利用基本初等函数的导数公式，依次计算判断即可 【详解】 � 1 �1 � 1   2 ，所以 A 不正确； � ( x )� 对于 A，因为 � x �x � � 对于 B，因为  sin x   cos x ，所以 B 正确； 对于 C，因为  2 x  � 2 x ln 2 ，所以 C 正确； � 1 对于 D，因为  lg x   x ln10 ，所以 D 不正确. 故选：BC. 8．AC 【分析】 对选项 A、B，根据切线的定义列举一个反例进行判断；对选项 C，这个错误很明显；对选 项 D，利用导数的几何意义求切线即可. 【详解】 对选项 A，例如： y  cos x 在 (0,1) 处的切线和 y  cos x 有无数个交点，故 A 错误，从而也 可知 B 正确；  0 ，故 C 错误； 对选项 C， y  ln 2, y � 对选项 D，由 f ( x)  x 3 ，得 f� ( x)  3 x 2 方程是 y  0 ，即为 x 轴，故 D 正确. 故选：AC. 9．0 【分析】