5.1.2 弧度制 一、选择题: 1.下列说法正确的是( ) A.1 弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中 1 弧度的圆心角比小圆中 1 弧度的 圆心角大 C.所有圆心角为 1 弧度的角所对的弧长都相 等 D.用弧度表示的角都是正角 2.时钟的分针在从 1 时到 3 时 20 分这段时间 里转过的弧度数为( ) 14 π 14 π 7π A. B.C. D.3 3 18 7π 18 3.将 300°化为弧度是( ) π 7π 11 π A.B. C. D. 3 6 6 5π 3 2π 4.将 弧度化成角度为( ) 3 A.60˚ B.30° C.150° C.120° 5.下列转化结果正确的是( ) π A.60°化成弧度是 rad 6 π B. rad 化成角度是 30° 12 180 C.1˚化成弧度是 rad π 180 D.1rad 化成角度是( )° π π 6.若角 α 与角 x+ 有相同的终边,角 4 π β 与角 x有相同的终边,那么 α 与 4 β 的关系为( ) A. α + β =0 B. α - β =0 π C. α − β = +2k π ,k∈Z D. α + 2 β =2k π ,k∈Z 7.终边在直线 y= ❑√ 3 x 上的角的集合为( ) π A.{ α ∨α =2k π + ,k ∈ Z} B.{ 3 π α ∨α =k π + ,k ∈ Z} 3 π C.{ α | α =2k π ± ,k ∈ Z} D.{ 3 1 α | α =k π ± 8.若 π ,k ∈ Z} 3 α π α =2 kπ + (k ∈ Z),则 的终边在 3 3 2 ( ) A.第一象限 B.第四象限 C.x 轴上 D.y 轴上 19 π 9.把表示成 2k π + θ (k∈Z)的形式, 4 且 θ ∈(0,2 π ),则 θ 的值为( ) 3π 5π π A. B. C. D. 4 4 4 7π 4 10.若角 α 的终边落在如图所示的阴影部分 内,则角 α 的取值范围是( ) π π 2 π 7π , , ) B.( ) 6 3 3 6 2 π 7π 2π , C.[ ] D.[2k π + ,2k 3 6 3 7π π + ]k ∈ Z 6 11.与 30°角终边相同的角的集合是( ) π A.{ α | α =k·360°+ ,k∈Z} 4 B.{ α | α =2k π +30°,k∈Z} C.{ α | α =2k•360°+30°,k∈Z} π D.{ α | α =2k π + ,k∈Z} 6 12.已知扇形的圆心角为 60°,半径为 2,则其面 积为( ) π 4π π A. B. C. D. 6 3 3 2π 3 二、填空题: 13.设三角形的三个内角之比为 2:3:5,则各内 角的弧度数分别为________. 14.在单位圆中,60˚的圆心角所对的弧长为___ ____. 8π 15.若角 θ 的终边与角 的终边相同,则 5 A.( 在[0,2 π ]内终边与角 是________. 16.若角 α 的终边与角 y=x 对称,且 α ∈(-4 _______. 三、解答题: θ 的终边相同的角 4 π 的终边关于直线 6 π ,4 π ),则 α = 17.已知一扇形的圆心角是 2π ,其所在圆的 3 半径是 10cm,求: (1)扇形的弧长;, (2)该扇形的弧所在的弓形的面积. 18.某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所 示),该扇环是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧 ^ 所 和线段 AD,BC 围成的设圆弧 ^ AB , CD 在圆的半径分别为 r1,r2(单位:米),圆心角为 θ (单位:弧度) π (1)若 θ = ,r1=3,r2=6,求花坛的面积; 3 (2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装 饰问 题,已知直线部分的装饰费用为 60 元/米,弧线 部分 的装饰费用为 90 元/米,预算费用总计 1200 元,当 线段 AD 的长度为多少时,花坛的面积最大? 19. 将 -1485 ° 表 示 成 α + 2 kπ , k ∈ Z 的形式，且 0 ≤ α ≤2 π 。 2 11 π 6 （1） 将角 α 用弧度表示出来，并指出终边 所在象限； （2） 将 角 β 用 角 度 表 示 出 来 ， 并 在 [ −360 ° ， 360 ° ] 内找出与它终边相同 的所有角。 20.设角 α =510 ° ， β=− 21.如图，直角 ∆ POB 中， ∠ PBO=90˚, 以 O 为圆心 OB 为半径作圆弧交 OP 于 A 点， 若圆弧 AB 等分 ∆ POB 的面积， ∠ AOB= α 弧度，则 tan α 多少弧度。 22.已知扇形 OAB 的面积为 1 cm 2 ,它的周 长是 4cm,求扇形 OAB 圆心角的弧度数。 答案: 1.A,2.B,3.D,4.C,5.D,6.D,7.B,8.D.9.D,10. B11.D,12.B. π 3π π π 2 π 9π 7 π , , , , 13. ,14. ,15. 5 10 2 3 5 10 5 19 π 11 π , ,16., 10 3 5π π 7π , , . 3 3 3 17. 解答： 2π 20 π cm ; ( 1 ) 弧长 l= × 10= 3 3 (2)该扇形的弧所在的弓形的面积 1 2π 1 2π ¿ × × 102 − × 102 × sin 2 3 2 3 ❑ 100 π −75 √ 3 ¿ c m2 3 18.解答 (1)花坛的面积 1 π 1 π 9 S= × 62 × − ×32 × = π （平方米）. 2 3 2 3 2 (2)弧 ^ AB 的长为 r1θ 米，弧 CD 的长为 r2θ 米，线段 AD 的长为(r2-r1)米. 由题意知 60· 2 ( r 2 − r 1 ) +90 ( r 1 θ+r 2 θ )=¿ 1200, 即 4 ( r 2 − r 1 ) +3 ( r 2 θ+r 1 θ )=40 ( ∗ ) . 则花坛的面积 1 1 1 S= r 22 θ − r 21 θ= ( r 2 θ+r 1 θ ) ( r 2 −r 1 ) . 2 2 2 40 4 由（＊）式知， r 2 θ +r 1 θ= − ( r 2 −r 1 ) , 3 3 r − r =x , 记 2 1 则 0<x<10， 1 40 4 2 50 − x x=− ( x − 5 )2+ , 所以 S= 2 3 3 3 3 x ∈ ( 0,10 ) , 当 x=5 时，S 取得最大值，即 AD=5 米时， 花坛的面积最大. 19.解答: ( -1485°=-5× 3 ) 360 ˚+ 315˚ , ∴315 ˚=315 ˚ × π 7π = , 180 4 21.解答； 设扇形的半径为 r，则扇形的面积为 ( 74π −10 π) . ∴−1485 ˚ = 20.解: ( 1 ) α =510˚ =510 × π 17 π rad= rad , 180 6 17 π 5π =2 π + , ..角 α 是第二象限角。 6 6 11 π 11 π 180 ( 2 ) β =− =− × =−330 ˚ . 6 6 π 则与角 β 终边相同的角可表示为 θ =k·360°―330°，k ∈ Z. ∵ ( ) ∵ -360°≤0<360°, ∴−360 ⩽ k ⋅360 −330< 360 ( k ∈ Z ) , 即 1 23 − ≤ k < (k ∈ Z ) , 12 12 ∴ k=0 或 k=1. 当 k=0 时. θ =-330°；当 k=1 时， θ =30°， ∴ 在-360°～360°内与角 β 终边相同的角 是 30°角 4 1 2 αr , 2 直角三角形 POB 中，PB=rtan α ， 1 r × r tan α , 由题意得 △POB 的面积为 2 1 1 r × r tan α=2 × α r 2 , 2 2 ∴ tan α =2 α , 故答案为：2. 22.解答： 设该扇形的圆心角为 α ，半径为 r，弧长为 l，周长为 P，依题意知： 1 s= t =1, p=t +2 r=4 解得 2 l r=1, ∴ α= =2 rd . r ¿ 所以该扇形 OAB 的圆心角 AOB 的弧度数为 2rad. 5