第 11 讲：三角函数中诱导公式、同角基本关系、恒等变换期末高频考点突破 高频考点梳理 考点一：同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan α. 考点二：六组诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 一 2kπ＋α(k∈Z) sin α cos α tan α 口诀 二 三 π＋α －α －sin α －sin α cos α －cos α tan α －tan α 函数名不变 四 π－α sin α －cos α －tan α 符号看象限 五 －α cos α sin α 六 ＋α cos α －sin α 函数名改变 符号看象限 技巧归纳： 1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2 ＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2 ＋(sin α－cos α)2 ＝2；(sin α＋cos α)2 －(sin α－cos α)2 ＝4sin αcos α. 考点三．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C(α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S(α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S(α＋β)) tan(α－β)＝，(T(α－β)) tan(α＋β)＝.(T(α＋β)) 考点四．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 考点五　半角公式 sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±＝＝. 考点六　辅助角公式 辅助角公式： asin x＋bcos x＝sin(x＋θ). 高频题型归纳 题型一：同角三角函数的基本关系 tan 2α＝. 5 3   0) ，则 1．（2022·全国·高一期末）已知 cos(   )  ， sin    ，且  �(0， ) ，  �( ， sin   （ 13 2 5 2 ） A．  63 65 B．  33 65 C． 33 65 D． 63 65 3sin   cos   2．（2021·贵州·兴仁市凤凰中学高一期末）已知 tan   3 ，则 sin   2 cos  （ A． 4 5 B． 5 C． 3 4 D． ） 2 题型二：三角函数的诱导公式 o o o o 3．（2021·湖南新邵·高一期末） sin 20 cos110  cos160 sin 70  （ A．  1 2 B．  3 2 C． ） D． 1 1 2 4．（2020·广东揭东·高一期末）已知角  的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为 �5 2 5� P� �5 ,  5 � �，则 � � A． 1 3sin       2 cos       � � cos �   � 的值为（ ） 2 � � B． 2 C． 1 D． 2 题型三：两角和差的三角函数问题 � π� � π�   �=1 sin �   �= 5．（2021·四川省成都市玉林中学高一期末）已知 sin   sin � � 3 � ，则 � 6 � （ 1 A． 2 3 B． 3 2 C． 3 6．（2020·安徽·合肥一六八中学高一期末）若  ,  都是锐角，且 ） 2 D． 2 cos   3 5 sin(   )  5 ，则 cos   5 ， 2 5 A． 25 2 5 2 5 C． 25 或 5 2 5 B． 5 5 5 D． 5 或 25 题型四：二倍角公式问题 � � � 4 � cos �   � sin � 2  � 3 �的值为（ � 6 � 5 ，则 � 7．（2021·四川内江·高一期末）设  为锐角，若 A． 12 25 B． 24 25 C．  24 25 D．  12 25 �2 � � �1 cos �  2 � cos �   � 6 3 3 � � � �（ 8．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高一期末）若 ，则 A． 2 9 B．  2 9 C． 7 9 D．  ） ） 7 9 题型五：降幂公式的问题 1 3 2 tan13� 1  cos 50� a  cos 6� sin 6� ,b  ,c  2 9．（2021·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）设 ， 2 2 1+ tan 13� 2 则有（ ） A． a  b  c B． a  b  c 10．（2021·上海·高一期末）已知 A． 1 6 B． sin 2  1 2 题型六：辅助角公式的应用问题 C． a  c  b � � 2 sin 2 �   � � 4�（ 3 ，则 C． 1 3 D． b  c  a ） D． 5 6 11．（2021·上海·高一期末）已知函数 f  x   3 sin  x  cos  x    0  在  0,   上有两个零点，则  的取值 范围为（ ） 11 17 � � � , � A． �6 6 � 11 17 � � , � � B． �6 6 � 12．（2021·浙江浙江·高一期末）对于函数 � � �5 8 � �, � C． �3 3 � 5 8� � , � � 3 3� D． � f  x   sin x  3 cos x ，给出下列选项其中正确的是（ ,0� A．函数 f  x  的图象关于点 � �6 �对称 B．函数 f  x  的最小正周期为  � 5  �  , � � C．函数 f  x  在区间 � 6 6 �上单调递增 D．函数 f  x  有最大值，没有最小值 ） 题型七：三角恒等变换的综合问题 � π4� 7 cos �   � sin   3 sin(  ) 6 5 � � 13．（2021·甘肃兰州·高一期末）已知 ，则 6 的值是 2 3 A． 5  2 3 B． 5 4 C． 5  14．（2021·河南驻马店·高一期末（理））已知 A． 7 9 B．  7 9 4 D． 5 3 � � � � sin �   � sin   sin � 2  � 6 �的值是（ ） 3 ，则 � � 3� C． 2 9 15．（2021·福建省永泰县第二中学高一期末）已知 0  a  D．  2 9  4  5 ， 0    ， sin  = ， cos(   )  . 2 5 2 13 sin 2   sin 2 （1）求 cos  的值；（2）求 cos 2  1 的值. 5 16．（2021·广西·藤县第六中学高一期末）已知角 α 为第一象限角，且 sin   5 ． （1）求 cos 、tan  3sin       2 cos      � � cos �   � （2）求 的值． �2 � 的值； 17．（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高一期末（理））已知函数 f ( x)  cos x sin x  3 cos 2 x  3 , x �R 2 （1）求 f ( x) 的最小正周期； �  �  , � � （2）求 f ( x) 在闭区间 � 4 4 �上的最小值以及对应 x 的值 考点题型强化精练 一、单选题 18．（2021·贵州·兴仁市凤凰中学高一期末）若 sin  tan   0 ，则  是（ A．第一象限或第三象限角 B．第二象限或第四象限角 C．第三象限或第四象限角 D．第二象限或第三象限角 ） sin   2 cos   2 ，则 19．（2021·辽宁·建平县实验中学高一期末）若  满足 tan  等于（ sin   3cos  4 A． 3 4 B． 3  3 � C． 4 3 D． 4  2sin 2   cos 2  2 2 20．（2021·陕西大荔·高一期末）已知 tan   2 ，则 sin   cos  的值为（ A．9 C． 2 B．6 ） ） D．3 �4 3 � P� , � 21．（2021·新疆·新和县实验中学高二期末）已知角  的终边与单位圆的交点 �5 5 �，则 sinπ     （ ） A． - 3 5 B．  4 5 C． 3 5 D． 4 5 2sin(   )  cos(   )  22．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二期末（文））已知 tan   2 ，则 sin(   )  cos(   ) （ A．-3 B．-5 C． 5 3 D．  5 3 �3 � sin �   � cos   � 23．（2021·山东威海·高一期末）已知 tan   3 ，则 �2 （ A．  1 10 B． 1 10 C．  1 4 D． ） 1 4 o cos15o  cos 225o � sin15o 的值为（ 24．（2021·云南·无高二期末（文）） sin 45 � 1 A． 2 1 B． 2  C．  A． C． f ( x )  3  2sin 2 2 x  的是（ ） 2 f ( x )  sin 2 2 x  cos2 2 x  1 B． f ( x )  4 cos 2 2 x  2 ） 3 D． 2 3 2 25．（2021·河南·高一期末）下列函数中是奇函数且最小正周期为 f ( x )  sin 2 x cos 2 x D． ， � ，则有（ 26．（2021·浙江·乐清市知临中学高一期末）对于任意的 αβR ） A． sin 2   sin 2   sin      sin  