第 05 讲：函数概念和基本性质（单调性、最值和奇偶性）期末高频考点突破 高频考点梳理 考点一：函数的有关概念 设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中任意一个数 x，按照某种 函数的定义 确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就 函数的记法 定义域 值域 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 y＝f(x)，x∈A x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 函数值的集合叫做函数的值域 考点二：函数的单调性 增函数 减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 定义 任意两个自变量的值 x1，x2 当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就 当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)，那么 说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 考点三．函数的最值 前提 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 (1)对于任意的 x∈I，都有 (3)对于任意的 x∈I，都有 条件 f(x)≤M； (2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M 结论 M 为最大值 考点四．函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 f(x)≥M； (4)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M M 为最小值 定义 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都 有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都 有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数 图象特点 关于 y 轴对称 关于原点对称 高频题型归纳 题型一：函数的定义域 1．（2021·重庆市永川北山中学校高一期末）函数 A．  �, 1 � 6, � B．  �, 1 � 6, � C． f  x   x2  5x  6 的定义域（ ） x 1  1,6 D．  2,3 2．（2021·四川资阳·高一期末）已知函数 f  x  的定义域为  2,1 ，则函数 A．  0,1 B．  0,1 C．  0,1 D． y f  3x  2  lg  1  x  的定义域为（ ）  0,1 题型二：已知函数的定义域求参数范围 a 2 3．（2021·甘肃·庆阳第六中学高一期末）若函数 f ( x)  lg( ax  2 x  4 ) 的定义域为 （ R ，则 a 的取值范围是 ） -2) A． (-�， 2) B． (-�，  �) D． (-2，  �) C． (2， 4．（2021·云南·陆良县中枢镇第二中学高一期末）已知函数 则 m 的取值范围是（ ） A． 1  m  2 B． 1  m �2 C． 1 �m �2 f  x   m  1 x 2   m  1 x  3 4 的定义域为 R ， D． 1 �m  2 题型三：复杂（根式、分式）函数的值域 5．（2021·湖北鄂州·高一期末）“函数  0， � ”的（ ） f ( x)  (m 2  3m  3) x m 是幂函数”是“函数 g ( x )  mx 2  2m 2 x  m 值域为 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 �  4  a  x  3a, x  1 f  x  � 6．（2021·贵州威宁·高一期末）已知函数 的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是（ log 3 x, x �1 � ） A． C．  2, 4  B．  �, 2 D．  2, 4   2 题型四：求解析式三大方法 7．（2021·陕西商洛·高一期末）若函数 f  x  满足 A．0 B．2 8．（2021·安徽淮南·高一期末）若 f ( x  1)  x  x B． f ( x )  x 2  x  x �1 C． D． ） D． 3 C．3 f ( x)  x 2  x A． �1 � f  x   2 f � � x  2 �x � ，则 f  2   （ ，则 f ( x) 的解析式为（ ） f ( x)  x 2  x( x �0) f ( x)  x 2  x 题型五：根据函数的单调性求参数范围 9．（2021·云南丽江·高一期末）函数 是（ f ( x )   x 2  2(1  m) x  3 在区间  �, 4 上单调递增，则 m 的取值范围 ） A．  3, � B．  3, � C．  �,5 D．  �, 3 10．（2021·湖南衡阳·高一期末）已知函数 f ( x) 的定域为 R ，图象恒过点 (0, 2) ，对任意 x1 , x2 �R ，当 f  x1   f  x2  x1  x2 x1 �x2 时，都有 A． (�, ln 2) 1 x ln  e x  2  � ，则不等式 f � � � 2  ln  e  2  的解集为（ B． (ln 2,ln 3) ）． D． (2 ln 2, �) C． (ln 3, 2ln 2) 题型六：函数不等式恒成立问题 11．（2021·四川省成都市玉林中学高一期末）函数 f ( x ) �3 a 恒成立，则 的取值范围是（ �8 �  , �� � � A． � 3 f ( x)  x 2  ax  11 (a �R ) * x 1 ，若对于任意的 x �N ， ） �2 �  , �� � � B． � 3 �1 �  , �� � � C． � 3 D．  1, � 12．（2021·黑龙江·大庆实验中学高一期末）对 x �R ，不等式 取值范围是（  a  2 x2  2  a  2 x  4  0 恒成立，则 a 的 ） A． 2  a �2 B． 2 �a �2 C． a  2 或 a �2 D． a �2 或 a �2 题型七：利用奇偶性求函数的解析式 13．（2021·云南·高一期末）已知奇函数 y=f（x）在 x≤0 时的表达式为 f（x）= 的表达式为（ A．f（x）= C．f(x)= x2 x2 x2 ） +3x -3x B．f（x）=- D．f（x）=- x2 x2 +3x -3x 14．（2021·广西·高一期末）已知 f ( x) 是 R 上的奇函数， g ( x ) 是 R 上的偶函数，且 +3x，则 x>0 时 f（x） f ( x)  g ( x)  2 x 3  x 2  3x  1 A．5 ，则 f (1)  g (2)  B．6 （ ） C．8 D．10 题型八：抽象函数的奇偶性问题 15．（2021·浙江浙江·高一期末）若 f ( x) 是奇函数，且在区间 (0, �) 上是增函数， f (2)  0 ，则 2 xf ( x )  0 A． 的解集是（ ） ( 2,0) U (0, 2) B． ( �, 2) �(0, 2) D． (2,0) U (2, �) C． (�, 2) U (2, �) 16．（2021·浙江浙江·高一期末）已知函数 f ( x  1) 是偶函数，当 x2  x1  1 时， � 1� a  f � � , b  f (1), c  f (2) f x  f x � x  x  0 � �       1 � 2 1 � 2 恒成立，设 则 a，b，c 的大小关系是（ ） � 2� A． a  b  c C． c  b  a B． a  c  b D． c  a  b 题型九:利用函数的奇偶性与单调性解不等式 17．（2021·广东·汕头市第一中学高一期末）已知函数 f(x)是偶函数，且 f(x)在 [0, �) 上是增函数，若 1 f( )0 ，则不等式 f  log 4 x   0 的解集为（ 2 A．{x|x>2} 1 B． {x | 0  x  } 2 18．（2021·四川凉山·高一期末）已知函数 ） C．{ x | 0  x  f ( x) 是 R 1 x>2} 2或 D．{ x | 上的奇函数，满足对任意的  x1  x2   0 ，且 f (1)  0 ，则 x1 �x2 ），都有 � �f  x1   f  x2  � � 1  x  1 或 x>2} 2 x1 , x2 �( �,0) （其中 f ( x)  f (  x )  0 的范围是（ ） x A． (�, 1) �[0,1) B． (1, 0) U (0,1) C． (�, 1] �(0,1] D． ( 1,1) 题型十：函数性质的综合性问题 x2  1 19．（2021·全国·高一期末）已知函数 f ( x)  ax  b 是定义域上的奇函数，且 f (1)  2 . （1）求函数 f ( x) 的解析式，判断函数 f ( x) 在 (0,1) 上的单调性并证明； （2）令 h( x )  x 2  1 � � 1 15 x1 , x2 �� , 2 �  2tf ( x )(t  0) | h( x1 )  h( x2 ) |� 2 2 �都有 � ，若对任意 x 4 ，求实数 t 的取值范围. 20．（2021·湖南长沙·高一期末）已知函数 f  x   1 xb 是定义在[ ，1]上的奇函数，且 f  1  ． 2 ax  1 2 1 （1）求 a，b 的值； （2）判断 （3）设 f  x 在[ 1 ，1]上的单调性，并用定义证明； g  x   kx  5  2k ，若对任意的 x1 � 11 ， ，总存在 x2 � 0