广东北江实验学校 2021~2022 学年第一学期第一次月考 高三数学试卷 考试时间：120 分钟，满分：150 分 命题人：陈碧苗 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，透对得 5 分，选错得 0 分． 1．与 2021� 终边相同的角是（ A． 111� 2． cos2 B． 70� 3 B． 2 3．已知等差数列 A． 6 C． 141� D． 221�    sin 2  12 12 （ ） 1 A． 2 ） 2 C． 2 3 D． 3  an  满足 a3  a6  a8  a11  12 ，则 a4  3a6 的值为（ B．6 C． 12 D．12 5 � � � 1 � sin �   � sin � 2  � 4．已知 6 �（ � 6 � 3 ，则 � 7 A． 9 7 B． 9  5 C． 9  ） ） 5 D． 9 ab  5．在 VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， B  30� , a  3, c  3 ，则 sin A  sin B （ 1 A．2 B． 2 ） 3 C． 2 3 D． 2   6．已知函数 f ( x )  3 sin( x   )(  0,  �(0,  )) 的最小正周期为 2 ，若将 f ( x ) 的图象向右平移 6 个 单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则  的取值为（ ）   2  A． 3 B． 6 C． 3 D． 2 7．“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是：以一根确定长度的琴弦为基准，取 3 4 2 此琴弦长度的 2 得到第二根琴弦，第二根琴弦长度的 3 为第三根琴弦，第三根琴弦长度的 3 为第四根琴弦， 4 第四根琴弦长度的 3 为第五根琴弦，琴弦越短，发出的声音音调越商，这五根琴弦发出的声音按音调由低到 高分别称为“宫、商、角（jué）、徵（zhǐ）、羽”，则“角”和“徵”对应的琴弦长度之比为（ 3 A． 2 81 B． 64 32 C． 27 ） 9 D． 8  3 � � , � 8．设函数 f ( x )  2sin( x   )  1(  0) ，若对于任意实数  ， f ( x ) 在区间 � 4 4� �上至少有 2 个零点， 至多有 3 个零点，则  的取值范围是（ 8 16 � � , � � A． � 3 3� � 16 � 4, � B． � � 3� ） � 20 � 4, � C． � � 3� 8 20 � � , � � D． � 3 3� 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题满分 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求．全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分． 9．已知递减的等差数列 A． a7  0 B． S7  an  的前 n 项和为 Sn ,S5  S9 ，则（ 最大 C． S14  0 D． ） S13  0 10．在 VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a : b : c  4 : 5 : 6 ，则下列结论正确的是（ A． sin A : sin B : sin C  4 : 5 : 6 C． VABC 的最大内角是最小内角的 2 倍 B． VABC 是钝角三角形 11．在 VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，以下结论中正确的有（ A．若 sin A  sin B ，则 A  B 8 7 D．若 c  6 ，则 VABC 外接圆半径为 7 ） ） B．若 sin 2 A  sin 2 B ，则 VABC 一定为等腰三角形 C．若 cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1 ，则 VABC 为直角三角形 D．若 VABC 为锐角三角形，则 sin A  cos B 12．若函数 A． f ( x) f ( x )  sin | x |  cos 2 x 是周期函数 B． �� 0, � C． f ( x ) 在 � � 2 �上是增函数 ，则（ f ( x) 在 ） [ ,  ] 上有 4 个零点 D． f ( x ) 的最小值为 1 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．在平面直角坐标系中，角  的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点 P ( 1,3) ，则 cos   ________． � � A  0,   0,|  | � � 14．函数 f ( x )  A sin( x   ) ，其中 � 2 �的部分图像如图所示，则函数 f ( x ) 的解析式 是_________． 15．已知角 �  � � � � � 3 � � 1  �� 0, � ,  �� , � sin �   �  cos �   �  ，若 ， � 4 � �2 � � 3� 5 �3 � 2 ，则 cos(   )  _______． 16．如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区为半径是 200 米，圆心角是 120� 的扇形 AOB ．O 为 南门位置，C 为东门位置，小区里有一条平行于 AO 的小路 CD ，若 OD  _____米． 200 6 3 米，则圆弧 AC 的长为__ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题 10 分） 2sin(   )  3cos(  ) � � � �  sin �   �的值； （1）已知 ，未 3cos �   � �2 � �2 � 4sin   3cos   0 �� � �   �0, � ,   � ,  � sin   3 ,cos(   )  5 （2）若 � 2� �2 �，且 5 13 ，求 sin  的值． 18．（本小题 12 分） 如图，在 VABC 中，已知 �B  30� ，D 是 BC 边上的一点， AD  5, AC  7, DC  3 ． （1）求 VADC 的面积； （2）求边 AB 的长． 19．（本小题 12 分） 已知数列  an  是公差不为零的等差数列，其前 n 项和为 Sn ，满足 S6  39 ，且 a2 , a4 , a12 成等比数列． （1）求数列 （2）若  an  的通项公式； bn  22  an ，求数列  bn  的前 n 项和 Tn ． 20．（本小题 12 分） 已知函数 （1）求 � � � � f ( x )  sin �  x � sin �  x � 3 sin x cos x ． �4 � �4 � f ( x) 的最小正周期以及单调增区间； （2）在 VABC 中，若 �A � f � � 1, a  2 ，求 VABC 周长的取值范围． �2 � 21．（本小题 12 分） VABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A，B，C 成等差数列，且 c  2a ． （1）求角 A 的大小； （2）设数列  an  满足 an  1 | cos nC | ，其前 n 项和为 Sn ，求 S2n ． n (n  2) 22．（本小题 12 分） 已知函数 h( x )  3 sin 4 x x x x  2sin cos  3 cos 4 2 2 2 2． 1  （1）若将函数 h ( x ) 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将向左平移 3 个单位，得 到函数 f ( x) 图象，求函数 f ( x) 的解析式； � � �� g ( x )  3  2m  m cos � 2x  � ( m  0) x1 �� 0, （2）设 ，则是否存在实数 m，满足对于任意 6� � � 4� �，都存在 �� x2 �� 0, � 4� �，使得 f  x1   g  x2  成立？