考点 02 函数的单调性与最值 1．（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（ ） x �2 � B． f  x   �3 � �� A． f  x    x C． f  x   x 2 D． f  x   【答案】D 【分析】 根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】 对于 A， f  x   x 为 R 上的减函数，不合题意，舍. x �2 � 对于 B， f  x   �3 �为 上的减函数，不合题意，舍. �� R 对于 C， f  x   x2 对于 D， f  x   3 在  �, 0  为减函数，不合题意，舍. x 为 R 上的增函数，符合题意， 故选：D. 1 2．（2020·全国高考真题（文））已知函数 f(x)=sinx+ sin x ，则（） A．f(x)的最小值为 2 C．f(x)的图象关于直线 x   对称 【答案】D 【分析】 B．f(x)的图象关于 y 轴对称 D．f(x)的图象关于直线 x  2 对称 3 x 根据基本不等式使用条件可判断 A;根据奇偶性可判断 B;根据对称性判断 C,D. 【详解】 Q sin x 可以为负，所以 A 错； Q sin x �0  x �k (k �Z ) Q f (  x )   sin x  Q f (2  x)   sin x   f ( x) 关于直线 x 1   f ( x)  f ( x) 关于原点对称； sin x 1 1 �f ( x), f (  x)  sin x   f ( x), 故 B 错； sin x sin x  2 对称，故 C 错，D 对 故选：D 【点睛】 本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题. （1）函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。 （2）函数 f（x）在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。 （3）函数的单调定义中的 x1、x2 有三个特征：①任意性②有大小③属于同一个单调区间。 （4）求函数的单调区间必须先求定义域。 （5）求函数的最值的常用方法，①数形结合法②配方法③单调性法。 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 任意两个自变量的值 x1，x2 当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，那么 定义 当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就 就说函数 f(x)在区间 D 上是增函 说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区 间 D 叫做 y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 条件 一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 (1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M； (1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≥M； (2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M (2)存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 x 1．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（文））已知 ， 确的是（ 1 1 A．  x y y �R ，且 x y ，则下列说法是正 ） x B． e x  e y  e y  e x y �1 � �1 � C． �2 � �2 �  0 �� �� D． x 2  y 2     2 2．（2021·江苏徐州市·高三其他模拟）已知集合 A  x x  x  6  0 ， B  x log 2  x  2   1 ，  �A I R B （ ） A．（－2，3） B．（2，3） C．[3，4） D．  3．（2021·全国高三其他模拟）已知点 A  0,1 �, 2 � 3, � 2 AB ，点 B 在抛物线 y =x 上，则 的最小值为（ 3 A．2 B．1 4．（2021·江苏高三专题练习）函数 1 D． 2 C． 2 y  ax ） （ a  0 ，且 a �1 ）在  1, 2 上最大值与最小值的差为 2，则 a （ ） A． 1 或 2 B．2 1．（2021·河南商丘市·高三月考（文））已知 （ 1 D． 4 1 C． 2 m  1, n  1 ，且 ln m  ln n  2n  m ，下列结论正确的是 ） m n �1 � �1 � n n 1 1 1 m  n ． ① � �  � �；②  ；③ ；④ log m 2021  log n 2021 �2 � �2 � m m 1 n m A．①④ B．②③ C．①② 2．（2021·贵州省思南中学高三月考（文））已知   c  f 0.20.5 ，则 a 、 b 、 c 的大小关系为（ ） f  x  D．②④ 1 � 1� ex b f � log 2 � ，设 a  f  log 4 5  ， ， x � 3� A． cba B． bac C． 3．（2021·河南高三其他模拟（文））已知函数 x1 , x2 � 0, � , x1 �x2 ，都有 f  x  2020   2  x  1011 A．  2021, � B． f  x2   f  x1  x2  x1 bca f  x 满足 abc f  x   f  x  ，且对任意的  2, f  1  2020 ，则满足不等式 的 x 的取值范围是（  2020, � D． ） C．  1011, � D．  1010, � 4．（2021·四川攀枝花市·高三三模（文））已知 2 ln a  a ln 2 ， 3ln b  b ln 3 ， 5ln c  c ln 5 ，且 a, b, c � 0, e  A． abc ，则（ ）． B． bac C． cba 5．（2021·安徽宿州市·高三三模（文））已知函数 D． cab f  x   x 2  ln  x  e  ，则（ ） A． f  0   f  log 3  f   log 3   B． f   log3    f  log 3  f  0  C． f   log3    f  0   f  log 3 D． f  log 3  f  0   f   log 3   6．（2021·全国高三其他模拟（文））已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn=2an﹣1，若对于任意的 n∈N*，不等式 λ(Sn+1)≥6an﹣3 恒成立，则实数 λ 的取值范围为（ A．(0，4] B．[4，+∞) C．[3，+∞) D．(3，+∞) 7．（2021·定远县育才学校高三其他模拟（文））设函数 f  x ） 的定义域为 R ，满足 f  x  1  2 f  x  . 8 f x �    x �  1, 0 f x = x x + 1 x � m ,  �   时， ( ) ( ) .若对任意   ，都有 当 9 ，则实数 m 的取值范围是（ ） �9 �  , �� � A． � 4 � �7 �  , �� � B． � 3 � �8 �  , �� �  �  5 , � C． � 2 D． � �3 8．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））若存在正数 x 使 的取值范围是（ A． ( �, �) ex ( x  a)  1 成立，则 a ） � 1 � �,  1� e � C． � � B． (�,1) 9．（2021·全国高三月考（文））若函数 f ( x)  x 2 在区间 [a, b] D．  �, 1 上的值域为 [t , t  1](t �R ) ，则 b  a （ ） A．有最大值，但无最小值 B．既有最大值，也有最小值 C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值 �e x �  e( x �1) f ( x)  �x 10．（2021·福建三明市·高三其他模拟）已知函数 是定义在 上的单调递增 2 � ax  8 x  6( x  1) � R 函数， A．  g ( x )  x e 1 (a ln x  1)  x e  e 4, 0  B．  ，当 x �1 时， 4, 2  C．  f ( x) �g ( x) 4, e 恒成立，则 a 的取值范围是（ D．  ） e, 2 1．（2016·北京高考真题（文））已知 A（2,5），B（4,1）.若点 P（x,y）在线段 AB 上，则 2x−y 的最大 值为 A．−1 B．3 2．（2018·安徽高考真题（文））若函数 C．7 f ( x)  x  1  2 x  a D．8 的最小值 3，则实数 a 的值为 B． 1 或 5 A．5 或 8 C． 1 或 4 ，若对于任意的 3．（2017·天津高考真题（文））设 D． 4 或 8 ，都有 满足方程 ，这时 的取值集合为 A． B． C． 4．（2020·海南高考真题）若定义在 的 x 的取值范围是（ A． C． D． R 的奇函数 f(x)在 (�, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足 xf ( x  1) �0 ） [1,1] U[3, �) B． [1, 0] �[1, �) D． 5．（2020·全国高考真题（文））设函数 [3, 1] U[0,1] [1, 0] �[1,3] f