河南省名校联盟 2021-2022 学年上学期高三第一次诊断考试 文科数学试卷 满分 150 分，时间 120 分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓 名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标 号；非选择题答案使用 0.5 毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 一、单选题（每小题 5 分，共 60 分） zz  2i 1.若 z＝1＋i，则 z ＝（ ） A. 2 B. －2 D. －2i C. 2i 2x  3 ，q： x  2 �1 ，则 p 是 q 的（ 2．设命题 p： ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.设 m，n，l 是三条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确 的是（　　） A．若 α⊥β，l⊂α，m⊂β，则 l⊥m； C．若 l⊥α，l∥β，则 α⊥β； B．②若 α∥β，l⊂α，m⊂β，则 l∥m； D．若 l⊂α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，则 α⊥β.  �  � � � 4．已知  �� , �，  ��3 , 2 �， 2 sin   3 cos   2 cos   sin  ，则 �4 2 � � � ） A． 3 B．1 C． 2  3 D． 3  2 （ �x  y �1, � 5. 若 ， 满足约束条件 �x  y �1, ，则目标函数 的取值范围是（ � 2 x  y � 2, z  x  2 y  1 � x y A．  2, 4 B．  1, 4 C．  0, 4 D．  0, 2 6．在正六边形 ABCDEF 中，点 P 为 CE 上的任意一点，若 ，则 x  y  （ A．2 B． 5 2 ） C．3 D．不确定 7. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视 图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为(　　) A.6 　 B.6　　 　C.4 　　 D.4  8. 函数 f  x   A sin   x    （其中 A  0 ，  < ）的部分图象如图所示， 2 � � 为得到 g  x   cos �2 x  3 �的图象，可以将函数 f  x  的图象（ � � ）  A．向右平移 6 个单位长度  B．向左平移 12 个单位长度  C．向左平移 6 个单位长度  D．向右平移 12 个单位长度 2 2 2 9. 在 ABC 中， a  b  c  2 3ab sin C ，则 ABC 的形状是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 10．已知 a  e0.05 ， b  ln1.1 1 ， c  1.1 ，则（ 2 ） D．等边三角形 ） A． a  b  c C． b  a  c B． a  c  b 11．数列  a  中， a1  n nan 1 * 4 1 n ，  n  1 an1  na  1  n �N  ，若不等式 2    1 tan �0 对所有 2 n n n 的正奇数 n 恒成立，则实数 t 的取值范围为（ � 28 � A． ��, 3 � � � D． c  b  a ） C．  �,10 B．  �,9 D．  9, � 2 12．已知函数 f  x   x  ln x ， g  x   x ln x ，若 f  x1   ln t ， g  x2   t ，则 x1 x2 ln t 的最小值 为（ ） A．  2 e B． 2 e C．  1 e D．  2 e2 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） r r r 13．已知向量 a  (2, 3), b  (1, 3), c  (1,  ) ，若 ⃗c =λ ⃗a=( 2 λ , λ ) , ，则   ______. 14．若双曲线的两条渐近线相交所成的锐角为 60°，则它的离心率为________． 3 x  2 y  6 �0 � � 15．已知实数 ， 满足不等式组 �x  3 y  3 �0 ，则目标函数 的最大值为______. �x  3 y �0 z  3x  y � x y 16．如图所示，点 D 在线段 AB 上，∠CAD＝30°，∠CDB ＝45°．给出下列三组条件（已知线段的长度）： ①AC，BC；②AD，DB；③CD，DB．其中，使△ABC 唯一 确定的条件的所有序号为____． 三、解答题 (共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. （12 分）某网站推出了关于地铁开通给太原市民生活带来便利情况的调查，大量的统 计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占 80% ．现从参与调查的人群中随机选出 200 人，并将这 200 人按年龄分组：第 1 组 [15 ， 25) ，第 2 组 [25 ， 35) ，第 3 组 [35 ， 45) ，第 4 组 [45 ， 55) ，第 5 组 [55 ， 65] ，得到的频率分布直方图如图所示． (Ⅰ)求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一 位）； (Ⅱ)现在要从年龄较小的第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 3 人进行问卷调查，求第 2 组中抽到 2 人的概率． 18．（12 分）在 ABC 中，它的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且 (Ⅰ)若 cos A cos C  B 2 3 ，b  6 ． 2 3 ，求 ABC 的面积； 1 1  1 (Ⅱ)试问 a c 能否成立？若能成立，求此时 ABC 的周长；若不能成立，请说明理由． 19．（12 分）如图，在直四棱柱 ABCD  A1 B1C1 D1 中，底面四边形 ABCD 为梯形，点 O 为 uuur 1 uuu r uuu r 1 上一点，且 AD  DC  BC  CO  CC1  2 AB  2 ， AB / / CD ， CO  2 (CA  CB) ． AB (Ⅰ)求证： C1O / / 平面 ADA1 ； (Ⅱ)求点 C 到平面 DBC1 的距离． 20．（12 分）如图，已知圆 C 与 y 轴相切于点 T (0, 2) ，与 x 轴的正半轴交于 M ， N 两点 （点 M 在点 N 的左侧），且 | MN | 3 ． (Ⅰ)求圆 C 的方程； 2 2 (Ⅱ)过点 M 任作一条直线与圆 O : x  y  4 相交于 A ， B 两点，连接 AN ， BN ，求证： k AN  k BN 为定值．   2 21．（12 分）已知函数 f ( x)  ln x  a x  x  2 ． (Ⅰ)当 a  1 时，求函数 f ( x) 的单调区间； (Ⅱ)当 a  0 时，若 f ( x) 的极大值点为 x1 ，求证： f ( x1 )  2 ln 2  1 2． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 �x  2  t cos  (t � 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 �y  t sin  参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为  2 (5  4cos 2  )  5 ． (Ⅰ)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； l (Ⅱ)设直线 交曲线 C 于 A, B 两点，求 OAB 面积的最大值． 23.（10 分）选修 4-5：不等式选讲 f ( x ) | x  a |  | x  b | (a  0 b  0) 已知 ， ． (Ⅰ)当 a  b  1 时，解不等式 f ( x)  x 2�8 ； 1 1  (Ⅱ)若 f ( x) 的最小值为 1，求 的最小值． a  1 2b 文科数学答案 1-5 DBCDC 6-10 CBDDB 13． 4 9 14. 2 或 2 3 3 15. 11-12 AA 48 7 16.②③ 17. 【解答】 解：（1）由 10 �(0.010  0.015  a  0.030  0.010)  1 ，得 a  0.035 ．…………………2 分 平均数为； 20 �0.1  30 �0.15  40 �0.35  50 �0.3  60 �0.1  41.5 岁；………………4 分 x 设中位数为 ，则 10 �0.010  10 �0.015  ( x  35) �0.035  0.5 ，  x �42.1 岁．…… 6 分 （2）第 1，2 组的人数分别为 20 人，30 人， 从第 1，2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人， 则第 1，2 组抽取的人数分别为 2 人，3 人，……………………………………… 8 分 分别记为 a1 ， a2 b1 b2 b3 ， ， ， ． 设从 5 人中随机抽取 3 人，为： (a1 (a2 ， a2 ， b1 ) ， (a1 ， a2 ， b2 ) ， (a1 ， a2 ， b3 ) ， (a1 b1 b2 ) (a1 b1 b3 ) (a1 b2 b3 ) ， ， ， ， ， ， ， ， ， b1 b2 ) (a2 b1 b3 ) (a2 b2 b3 ) (b1 b2 b3 ) ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 10 个基本事件， ………………………………………… 10 分 第 2 组中抽到 2 人的情况有 b1 ， b3 ) ， (a2 ， b2 ， b3 ) (a1 b1 b2 ) (a1 b1 b3 ) (a1 b2 b3 ) (