第六章 记数原理 6.3.2 二项式系数的性质 使用教材：人教 A 版 2019 选择性必修第三 册 复习引入 请同学回顾二项式的展开式及通项是什么 ？ 请同学回顾二项式系数与系数的区别？ 课堂探究 问题 1 ： (a ＋ b)1,(a ＋ b)2,(a ＋ b)3,(a ＋ b)4,(a ＋ b)5,(a ＋ b)6 的 展开式中的二项式系数分别是哪些组合数？并将它们的计算结果填入 下表： n 二项式系数 1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 3 4 1 4 6 1 4 1 5 1 1 5 1 5 1 1 1 1 6 2 6 6 0 0 5 0 5 问题 2 ：观察上表中每一行的数据，你发现了什么规律吗？ 课堂探究 1 ( a  b) 2 ( a  b) 3 ( a  b) 将上表写成如下形式 , 你又能发现这些数据有什么新的规律 吗? 0 1 C1 C1 1 1 1 1 4 ( a  b) 5 ( a  b) ( a  b) 6 1 1 1 5 6 2 3 4 10 15 C20 C21 C22 1 3 6 1 4 10 20 0 3 C 15 6 2 3 C C 3 3 C C40 C41 C42 C43 C44 1 5 1 3 0 5 C 1 0 C 1 6 C61 1 5 C C62 2 5 C 3 5 C 4 5 C C63 C64 5 5 C C65 C66 (1) 每行两端的数都是 1 ； (2) 与两端等距离的项的系数相等； (3) 在相邻的两行中 , 除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和 , 课堂探究 r ，n r∈{0 问题：一般地，函数 f (r ) = C ，1， 2 ，…， n} 的图象是什么？ 它具有怎样的 对称性？ 课堂探究 r 问题：对给定的正整数 n ，设函数 ， f (r ) = C n r∈{0 ， 1 ， 2 ，…， n} ， 定义域是什么？ 对于确定的 n ，我们还可以画出它的图象，例如 ，当 n=6 时，其图象是右图中的 7 个孤立点． 课堂探究 r ，n 问题：一般地，函数 f (r ) = C r∈{0 ， 1 ， 2 ，…， n} 的图象是什么？ 它具有怎样的对称 性？ n r= n ＋ 1 个孤立的点，关于直线 对 2 称 课堂探究 Q Ckn n( n  1)( n  2)L ( n  k  1) n( n  1)( n  2)LL ( nn  kk  2)( 2) n  k  1)   ( k  1)! k k!  即 nk 1 Q若 1 � k n1 k 2 k 1 n  k Cn � Ckn Ckn 1 1 k nk 1  k n1 二项式系数是逐渐增大的， k  所以，当 时， 2 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，即先增后减， 所以在中间项取得最大值 . 课堂探究 问题：当 n 分别为偶数和奇数时，第几项的二项式系数最大 ？ ∵ 二项展开式共有 n+1 项， ∴ 当 n 为偶数时，正中间一项的二项式系数C n2 n ； 当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数 等， 且同时取得最大值 最大 n 1 2 、 Cn n 1 2 Cn 相 课堂探究 如何证明   在二项式定理中， a ， b 可以任意取值，当 a ＝ b ＝ 1 时即可证明 课堂探究 又如何求 (a+b)n 的展开式中求， 奇数项的二项式系数的和 C0  C2  C4  L n n n 偶数项的二项式系数的和 C1  C3  C5  L n n n n (a  b)n  C n0-a1,则得  C n1a n1b  C n2a n 2b 2  L  C nnb n 提示：在展开式中，令，b= (1  1)n  C n0  C n1  C n2  C n3  L  ( 1)n C nn (C n0  C n2  C n4  L )  (C n1  C n3  C n5  L )  0 a1 例题解析 例题解析 例题解析 例题解析 练习巩固 例题解析 例题解析 例题解析 练习巩固